1.2 Анализ задач линейного программирования в Excel

При рассмотрении симплексного метода было показано, как решение задачи линейного программирования выполнить с помощью надстройки Excel Поиск решения.

На рис. 1.4 приведено найденное таким образом решение задачи о выпуске продукции.

Кроме этого решения, как было указано, Excel позволяет представить результаты поиска решений в форме отчета трех типов:

• Результаты. В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и изменяемой ячеек, дополнительные сведения об ограничениях.

• Устойчивость. Отчет, содержащий сведения о чувствительности решения к малым изменениям в изменяемых ячейках или в формулах ограничений.

• Пределы. Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек, в отчет включаются верхние и нижние границы значений, которые могут принимать влияющие ячейки при соблюдении ограничений.

Содержание указанных отчетов – в таблицах 1.1 – 1.3.

отчет по результатам (табл. 1.1) состоит из трех таблиц:

• таблица 1 приводит сведения о целевой функции. В столбце Исходное значение приведены значения целевой функции до начала вычислений;

• таблица 2 приводит значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи;

• таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и граничных условий.

Таблица 1.1 – Содержание отчета по результатам.

Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 15.04.2006 1:22:43
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$F$4	коэф.в ЦФ ЦФ	0	1320
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходное значение	Результат
	$B$3	значение Х1	0	10
	$C$3	значение Х2	0	0
	$D$3	значение Х3	0	6
	$E$3	значение Х4	0	0
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Статус	Разница
	$F$7	труд левая часть	16	$F$7<=$H$7	связанное	0
	$F$8	оборудование левая часть	100	$F$8<=$H$8	связанное	0
	$F$9	полуфабрикаты левая часть	84	$F$9<=$H$9	не связан.	26

Для ограничений в графе формула приведены зависимости, которые были введены в диалоговой окно Поиск решения; в графе Значение приведены величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние указывается связанное; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан.

Для граничных условий приводятся величины с той лишь разницей, что вместо величины неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием.

Итак, в табл. 1.1 (в отчете по результатам) содержатся оптимальные значения переменных х₁, х₂, х₃, х₄, которые соответственно равны 10; 0; 6; 0; значение целевой функции – 1320, а также величина левых частей ограничений соответственно полученному оптимальному плану. Так, в рассматриваемой задаче первое и второе ограничения выполнились как равенства, а в третьем левая часть (потребленное количество полуфабрикатов) меньше правой части на 26 (столбец Разница).

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений => Отчет по устойчивости. Этот отчет для условий рассматриваемой задачи приводится в табл. 1.2.

Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц.

В таблице 1 приводятся следующие значения для переменных:

• результат решения задачи;

• нормированная стоимость, т.е. дополнительные двойственные переменные, которые показывают, как изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение;

• коэффициенты целевой функции;

• предельные значения приращения коэффициентов c_j целевой функции, при которых сохраняется оптимальное решение.

В таблице 2 приводятся аналогичные значения для ограничений:

• величина использованных ресурсов;

• теневая цена, т.е. двойственные оценки y_i, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурсов на единицу;

• значение приращения ресурсов b_i, при которых сохраняется структура базиса оптимального плана, а следовательно, и величина оптимальных оценок.

Таблица 1.2 – Содержание отчета по устойчивости.

Microsoft Excel 10.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 15.04.2006 1:22:43
Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$B$3	значение Х1	10	0	60	40	12
	$C$3	значение Х2	0	-10	70	10	1E+30
	$D$3	значение Х3	6	0	120	30	13,33333333
	$E$3	значение Х4	0	-20	130	20	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$F$7	труд левая часть	16	20	16	3,545454545	6
	$F$8	оборуд. левая часть	100	10	100	60	36
	$F$9	полуф. левая часть	84	0	110	1E+30	26

Так, в первой таблице отчета по устойчивости для рассматриваемой задачи (табл. 1.2) нормированная стоимость для продукции второго вида равна -10 ден.ед./шт. Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение (10; 0; 6; 0), попробуем включить в план выпуска одно изделие второго вида, то новый план выпуска принесет нам доход 1310 ден.ед., что на 10 ден.ед. меньше, чем прежнее оптимальное решение.

Предельные значения приращения целевых коэффициентов с_j, при которых сохраняется первоначальное оптимальное реше­ние, показывают, что, например, допустимое увеличение прибыльности продукции первого вида равно 40 ден. ед./шт., а допустимое уменьшение составляет 12 ден. ед. По изделию второго вида допустимое увеличение прибыльности составляет 10 ден. ед, а допустимое уменьшение — практически не ограничено. Это означает, что если прибыль на одно изделие второго вида возрастет более чем на 10 ден.ед./шт., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным вы­пускать изделия второго вида. А если прибыльность второго изделия будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (10; 0; 6; 0) останется прежним.

вторая часть табл. 1.2 содержит информацию, относя­щуюся к ограничениям. Так, в графе Допустимое уменьшение показано, на сколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при этом допустимое решение и, что очень важно, оставив неизменной величину оптимальной оценки («теневой цены»).

Рассмотрим дефицитные ресурсы. Ана­лизируя отчет по результатам, мы установили, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать больше П₂, чем в оптимальном решении, и получать более высокий доход. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы «труд» и «оборудование». Поскольку знак ограничений этих запасов имеет вид «  », то возникает вопрос, на сколько максимально должен возрасти запас этих ресурсов, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос показан в графе Допустимое увеличение. Ресурс «труд» имеет смысл увеличивать не более, чем на 3,5 чел.-часа, а ресурс «оборудование» – не более, чем на 60 станко-час.

Ценность дополнительной единицы i-го ресурса («теневая цена») рассчитывается только для дефицитных ресурсов и характеризует прирост результата в расчете на одну дополнительную единицу соответствующего ресурса.

Ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения.

Таблица 1.3 – Содержание отчета по пределам

Microsoft Excel 10.0 Отчет по пределам
Рабочий лист: [Книга1]Отчет по пределам 1
Отчет создан: 15.04.2006 1:22:43
		Целевое
	Ячейка	Имя	Значение
	$F$4	коэф.в ЦФ	1320
		Изменяемое			Нижний	Целевой		Верхний	Целевой
	Ячейка	Имя	Значение		предел	результат		предел	результат
	$B$3	значение Х1	10		0	720		10	1320
	$C$3	значение Х2	0		0	1320		0	1320
	$D$3	значение Х3	6		0	600		6	1320
	$E$3	значение Х4	0		0	1320		0	1320

В отчете по пределам (табл. 1.3) показано, в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальный план, при сохранении структуры оптимального решения:

• приводятся значения x_j в оптимальном решении;

• приводятся нижние пределы изменения значений x_j.

Кроме этого, в отчете указаны значения целевой функции при выпуске данного продукта на нижнем пределе. Так, значение 720 соответствует следующей ситуации:

F = c₁x₁ + c₃x₃ = 60  0 + 120  6 = 720.

Далее приводятся верхние пределы изменения x_j и значения целевой функции при выпуске продукции, вошедшей в оптимальный план на верхнем пределе. Поэтому везде F = 60  10 + 120  6 = 1320.