2.1.3. Методи отримання псевдовипадкових чисел

Метод серединних квадратів - це одна з перших процедур, яку запропонували в 1946р. Фон Нейман та Метрополіс. В наш час цей метод має лише історичний інтерес, тому що його роботу важко проаналізувати, працює він порівняно повільно й не дає статистично задовільних результатів. Наведемо основні кроки алгоритму, який реалізує даний метод:

1. Взяти довільне п - значне число.

2. Піднести це число в квадрат, і , якщо потрібно, доповнити його ліворуч нулями до 2п - значного числа.

3. Взяти n цифр з середини цього числа як наступне випадкове число.

4. Перейти до кроку 2.

Щоб отримати числа, рівномірно розподілені в інтервалі (0,1), достатньо промасштабувати (тобто поділити на 10ⁿ) результати, знайдені за допомогою описаного вище алгоритму. Обравши за початкове число 2152, в результаті роботи алгоритму отримаємо послідовність

...........................................................................................................

Масштабуючи, дістанемо 0,2152; 0,6311; 0,8287 і т.д.

Часто послідовність виявляється надто короткою:

У цій послідовності випадковість взагалі відсутня, тому що починаючи з другого числа весь час буде генеруватись 2500.

Конгруентні методи будуються на основі кількох рекурентних формул з використанням поняття конгруентності - порівнянності чисел по модулю. Два числа А та В конгруентні по модулю m (m - ціле число) тоді і лише тоді, коли існує таке ціле число К, що А - В = К m, або, іншими словами, при діленні на m числа А та В мають ідентичну остачу. Так, наприклад, 5~ 7 /mod 2/, 10 ~ 14 /mod 4/. Будь-який програмний генератор, що використовує функціональне співвідношення, є періодичним, тобто починаючи з деякого числа генерована послідовність повторюється.

Мультиплікативний конгруентний метод ґрунтується на використанні формули

де а, m – невід’ємні цілі числа.

Значення а, m і початкове значення х₀ необхідно вибирати такими, щоб забезпечити максимальний період і мінімальну кореляцію між генерованими числами. Для двійкової машини значення модуля m=2^b, для десяткової m=10^d, де b, d - число відповідно двійкових (біт) та десяткових цифр у машинному слові використовуваної ЕОМ. При правильному виборі а та х₀ максимальний період для двійкових машин , для десяткових . Для двійкових машин значення а вибирається з співвідношення , де Т - довільне ціле додатне; х₀ - додатне непарне число. Для десяткової машини , де Q набуває одне із значень  (3, 11, 13, 19, 21, 27, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 77, 83, 91); х₀ - довільне непарне ціле, яке не ділиться на 5. Вибір модуля, який дорівнював би довжині машинного слова ЕОМ, приводить до прискорення роботи алгоритму, оскільки тоді обчислення остачі від ділення на m зводиться до виділення b молодших розрядів діленого, а перетворення цілого х_і в раціональний дріб на інтервалі (0,1) здійснюється підстановкою ліворуч від х_і двійкової або десяткової коми. Розглянемо приклад побудови датчика для 4 - розрядної двійкової машини. Використовуючи наведені раніше рекомендації, вибираємо b=4, х₀=7 (0111), а=5 (0101):

Період генератора 2 ^4-2= 4

Змішаний конгруентний метод, який запропонував Томсон, використовує формулу

З обчислювальної точки зору змішаний метод складніший за мультиплікативний на одну операцію додавання, але можливість вибору додаткового параметра с дозволяє зменшити можливу кореляцію між генерованими числами.

Адитивний конгруентний метод працює за формулою

При х₀ = 0 та х₁ = 1 цей алгоритм призводить до послідовності Фібоначчі. Використання адитивного генератора, який працює за формулою

дає кращі результати, але потребує більшого обсягу пам’яті ЕОМ внаслідок необхідності збереження значень, проміжних між х_{і - к} та х_і. Якісно цей генератор працює при значенні к = 16.

Комбіновані методи генерують "ще більш випадкові" послідовності за рахунок зростання часу генерації. Так, наприклад, можна використати два генератори псевдовипадкових чисел, які генерують відповідно послідовності х_0, х_1, ..._, х_n та у₀, у₁, ...,y_n псевдовипадкових чисел, що мають значення від нуля до m-1, незалежними способами і отримати вихідне псевдовипадкове число із співвідношення

При цьому бажано, щоб довжини періодів {x_n} {y_n} були взаємно простими числами.

Розглянуті методи отримання псевдовипадкових чисел мають певні переваги та недоліки, що дозволяє в кожному конкретному випадку обрати найбільш доцільний метод. Крім того, генератори псевдовипадкових чисел чутливі до вибору початкових значень і констант. Найчастіше в моделюванні застосовується звичайний мультиплікативний генератор, який має високі статистичні характеристики та швидкодію.