Хід заняття

І. Дайте відповіді на запитання і виконайте завдання

1) Стрілець тричі стріляє в ціль. Нехай подія полягає у влученні в ціль у результаті -го пострілу .

Що означають події:

А) _____________________________________________________

Б) ______________________________________________________

В) ___________________________________________________

Г)

Виразіть через події , та такі події:

- «влучення мало місце лише в результаті першого пострілу»

________________________________________________________________

- «влучення мало місце в результаті кожного з трьох пострілів»

________________________________________________________________

- «влучення мало місце лише в результаті одного пострілу»

________________________________________________________________

- «влучення мало місце не менше двох разів»

________________________________________________________________

- «влучення мало місце не більше одного разу»

________________________________________________________________

2) Випробування полягає в тому, що кидається дві монети. Розглядаються події:

- «випав герб на першій монеті»;

- «випала цифра на першій монеті»;

- «випав герб на другій монеті»;

- «випала цифра на другій монеті»;

- «випав хоча б один герб»;

- «випала хоча б одна цифра»;

- «випали один герб і одна цифра»;

- «не випав не один герб»;

- «випало два герби».

Визначте, яким подіям із даного списку рівносильні такі події:

____; ____; ____; ____; ____; ___.

3) Вкажіть події, протилежні до подій:

- «випало два герба при киданні двох монет»;

- _____________________________________________________________

- «вийнято білу кульку при витягуванні однієї кульки з урни, в якій 2 білих, 3 чорних і 4 червоних кульки»;

- _____________________________________________________________

- «три попадання при трьох пострілах»;

- _____________________________________________________________

- «хоча б одне попадання при п’яти пострілах»;

- _____________________________________________________________

- «не більше двох попадань при п’яти пострілах»;

- _____________________________________________________________

- «виграш одного гравця при грі в шахи».

- _____________________________________________________________

4) Кожний з двох студентів навмання вибирає один з трьох можливих способів дістатися до коледжу: тролейбусом, автобусом або пішки. Позначимо випадкові події:

- «перший студент поїде до коледжу тролейбусом»;

- «перший студент поїде до коледжу автобусом»;

- «перший студент піде до коледжу пішки»;

- «другий студент поїде до коледжу тролейбусом»;

-«другий студент поїде до коледжу автобусом»;

- «другий студент піде до коледжу пішки»;

Виразіть через позначені випадкові події наступні випадкові події:

- «перший студент дістанеться до коледжу не автобусом» ____________

- «другий студент дістанеться до коледжу або тролейбусом, або пішки»

________________________________________________________________

- «обидва студенти дістануться до коледжу пішки»

________________________________________________________________

- «перший студент дістанеться до школи тролейбусом, а другий не піде пішки» __________________________________________________________

- «або перший, або другий із студентів дістануться до коледжу автобусом» ______________________________________________________

5) Нехай А, В, С – деякі випадкові події. Знайдіть вирази для подій, які полягають у тому, що:

Настала тільки подія А ___________________________________________;

Настали події А і В, але подія С не настала __________________________;

Настала принаймні одна з цих подій ________________________________;

Не настала жодна з цих подій ______________________________________;

Настали всі три події _____________________________________________;

Настало не більше двох подій ______________________________________.

6) За якою формулою знаходиться ймовірність суми двох несумісних подій

________________________________________________________________

7) За якою формулою знаходиться ймовірність суми двох сумісних подій?

8) Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій? ______________

9) Чому дорівнює сума ймовірностей подій , які утворюють повну групу і попарно несумісні? (Запишіть формулу)

________________________________________________________________

10) За якою формулою знаходиться ймовірність добутку двох незалежних подій? __________________________________________________________

11) За якою формулою знаходиться ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій ?

________________________________________________________________

12) За якою формулою знаходиться ймовірність добутку двох залежних подій? __________________________________________________________

13) Який вигляд має формула повної ймовірності?

________________________________________________________________

14) Який вигляд має формула Бейєса ймовірності гіпотез?

________________________________________________________________

15) Який вигляд має формула Бернуллі для обчислення ймовірності появи події рівно m разів у n незалежних випробуваннях?

________________________________________________________________

ІІ. Виконайте завдання

1) Стрілець стріляє по мішені, яка розділена на три області. Ймовірність влучення в першу область дорівнює 0,45, в другу – 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілець при одному пострілі попаде або в першу, або в другу область. __________________________________________________

2) Стрілець влучає в десятку з ймовірністю 0,05, у дев’ятку – з ймовірністю 0,2, у вісімку – з ймовірністю 0,5. Знайти ймовірність того, що стрілець набере не менше восьми очок після першого пострілу.__________________

3) В ящику лежать 8 білих і 12 червоних однакових на дотик кульок.

А) Навмання вибирають 3 кульки. Яка ймовірність того, що хоч би одна з них буде білою?

________________________________________________________________

Б) Навмання вибирається 6 кульок. Яка ймовірність того, що серед них не більше однієї білої кульки?

________________________________________________________________

В) Навмання вибирається 5 кульок. Яка ймовірність того, що серед них не менше двох білих кульок?

Г) Навмання вибирається 2 кульки. Яка ймовірність того, що вони одного кольору?

________________________________________________________________

3. В ящику лежать 8 червоних, 10 зелених і 12 синіх однакових на дотик кульок. Навмання виймають три кульки. Знайти ймовірність того, що серед вибраних кульок буде відсутній хоч би один колір.

4) В майстерні працює з станка. За зміну перший станок може потребувати наладки з ймовірністю 0,15, другий станок – з ймовірністю 0,1, третій станок – з ймовірністю 0,12. Вважаючи, що станки не можуть потребувати наладки одночасно, знайти ймовірність того, що за зміну хоча б один станок потребує наладки. __________________________________________

5) За статистичними даними ремонтній майстерні в середньому на 20 зупинок токарного станка приходиться: 10 – для заміни різця; 3 – через несправності привода; 2 – через несвоєчасну подачу заготовок. Останні зупинки відбуваються за інших причин. Знайти ймовірність зупинки станка за інших причин. _________________________________________________

6) Береться навмання трицифрове натуральне число від 100 до 999. Знайти ймовірність того, що хоч би дві його цифри співпали.

________________________________________________________________

7) Є три ящики, в яких містяться по 10 деталей. В першому ящику 8, в другому 7 і в третьому 9 стандартних деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три взяті деталі будуть стандартними. _____________________________________________

8) Ймовірність того, що стрілець при одному пострілі попадає в ціль, дорівнює 0,9. Стрілець виконав три постріли. Знайти ймовірність того, що всі три постріли попали в ціль. ______________________________________

9) Кинули монету і гральний кубик. Знайти ймовірність одночасного випадання герба на монеті і числа 6 на гральному кубику._______________

10) Завод випускає 95% деталей стандартними, причому із них 86% - першого сорту. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь виготовлена на цьому заводі буде першого сорту. ______________________

11) Три стрільця, для яких ймовірності влучення в мішень дорівнюють 0,8; 0,75 і 0,7, роблять по одному пострілу. Знайдіть ймовірність того, що:

А) хоча б один із стрільців влучив у мішень __________________________

Б) тільки один із стрільців влучив у мішень ___________________________

В) тільки два стрільця влучать у мішень ______________________________

12) Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного в ціль. Постріл вважається успішним, якщо в ціль влучив хоча б один мисливець. Обчисліть ймовірність того, що постріл буде успішним, якщо ймовірність влучення в ціль для мисливців дорівнюють відповідно 0,8 і 0,75.

________________________________________________________________

13) Ймовірність влучення в ціль з одного пострілу дорівнює 0,8. Яка ймовірність влучення в ціль хоча б один раз з двох пострілів?

________________________________________________________________

14) При виготовленні деталі проводиться чотири операції. Ймовірність одержання браку після кожної операції дорівнює 0,01. Яка ймовірність випуску деталі без браку, якщо операції незалежні?

15) Знайти ймовірність того, що за вісім кидків монети принаймні один раз випаде герб.

________________________________________________________________

16) Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучив у десятку, дорівнює 0,6. Скільки пострілів повинен зробити стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він влучив в десятку хоча б один раз?

________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________

17) Ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань подія А настане принаймні один раз, дорівнює 0,59. Знайдіть ймовірність настання події А при одному випробуванні, якщо вона під час всіх випробувань однакова.

________________________________________________________________________________________________________________________________

18) У скриньці лежать 5 білих і 3 чорних кулі. Навмання по черзі виймають дві кулі, причому взяту кулю в скриньку не повертають. Яка ймовірність того, що:

А) обидві кулі білі ________________________________________________

Б) друга куля біла _________________________________________________

19) В ящику складено деталі: 16 деталей з першої дільниці, 24 з другої і 20 з третьої. Імовірність того, що деталь, виготовлена на другій дільниці, відмінної якості, дорівнює 0,6, а для деталей, виготовлених на першій і третій дільницях, ймовірності дорівнюють 0,8. Знайдіть імовірність того, що навмання вийнята деталь буде відмінної якості.

________________________________________________________________________________________________________________________________

20) На двох автоматах виготовляють однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата втричі більша за продуктивність другого. Перший автомат в середньому виготовляє 80% деталей першого сорту, а другий – 90%. Узята навмання з конвеєра деталь була першого сорту. Знайдіть імовірність того, що цю деталь виготовив перший автомат.

________________________________________________________________________________________________________________________________

21) Є три партії деталей по 30 штук у кожній. Кількість стандартних деталей у першій, другій і третій партіях відповідно становить 30, 25 і 20. З довільно вибраної партії навмання вийнято деталь, яка була стандартною. Деталь повертають у партію і вдруге навмання виймають деталь, яка також є стандартною. Знайдіть імовірність того, що деталі були вийняті з третьої партії. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22) Яка ймовірність того, що при десяти кидках грального кубика три очка випаде:

А) рівно три рази _________________________________________________

Б) рівно один раз _________________________________________________

23) Яка ймовірність того, що при десяти кидках грального кубика число очок кратне трьом з’явиться:

А) рівно 3 рази ___________________________________________________

Б) не більше трьох раз _____________________________________________

В) рівно 4 рази ___________________________________________________

24) В цеху 6 двигунів. Для кожного двигуна ймовірність того, що він у даний момент включений, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в даний момент:

А) включено 4 двигуни ___________________________________________;

Б) включені всі двигуни ___________________________________________;

В) виключені всі двигуни __________________________________________.

25) Проведено 8 незалежних випробувань у кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що подія А відбудеться хоч би два рази.

________________________________________________________________

26) Що ймовірніше: виграти у рівносильного противника (нічия виключається) одну партію із чотирьох чи три партії із восьми?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ІІІ. Виконайте завдання самостійно

Варіант ______

№ Завдання	1	2	3
Відповідь
Відмітка про виконання

85