8.4.3. Предельный апериодический разряд

Предельный апериодический разряд конденсатора происходит, если выполняется соотношение . В этом случае корни характеристического уравнения , – равные действительные отрицательные числа. При равенстве корней решение уравнения второго порядка имеет вид:

, (8.35)

где и – два частных линейно независимых решения. Зная , находим

. (8.36)

Теперь определим постоянные интегрирования, воспользовавшись уже известными начальными условиями ; . Подставляем в уравнения (8.35) и (8.36) при соответствующие значение тока и напряжения и получаем систему двух уравнений для определения постоянных и :

; , откуда .

В соответствии с этим окончательно получаем:

; (8.37)

, (8.38)

так как . Напряжение на катушке индуктивности имеет вид

. (8.39)

Характер уравнений (8.37–8.39) несколько отличен от предыдущего случая апериодического разряда. Однако происходящие явления практически аналогичны. Все функции возрастают и убывают быстрее, чем в предыдущем случае. Такой апериодический разряд называют критическим. Значение , при котором наблюдается критический случай апериодического разряда, называется критическим сопротивлением последовательного контура .

8.4.4. Периодический (колебательный) разряд конденсатора

Периодический разряд конденсатора протекает, если . В этом случае корни , характеристического уравнения являются комплексно сопряженными:

,

где – коэффициент затухания; – угловая частота затухающих колебаний; – угловая частота собственных незатухающих колебаний при .

Воспользуемся выражением (8.32) и подставим значение корней, соответствующих рассматриваемому случаю:

.

Проделав простые преобразования, получим

(8.40)

где . Ток находим, дифференцируя (8.40):

(8.41)

Напряжение на катушке индуктивности находим, дифференцируя (8.41):

. (8.42)

Проведем анализ соотношений (8.40), (8.41) и (8.42). Возьмем сначала частный случай, когда потери на тепло отсутствуют . В этом случае и процесс будет не затухающим:

и ; .

Тогда значения тока в цепи и напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе запишутся так:

; ; .

Следовательно, при ток и напряжения в цепи изменяются по синусоидальному закону. При этом сдвиги фаз между током и напряжениями те же, что и в цепи с синусоидальным источником. Частота незатухающих колебаний и их период зависят только от параметров контура и .

С энергетической точки зрения данный процесс представляет собой непрерывные колебания энергии между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Причем, при эти колебания будут незатухающими. Известно, что в последовательном колебательном контуре наступает резонанс, если частота источника напряжения . Таким образом, резонанс наступает при совпадении частоты источника питания с частотой собственных незатухающих колебаний цепи.

Теперь рассмотрим случай колебательного разряда конденсатора с потерями на тепло. Здесь также наблюдаются колебательные изменения тока и напряжений, но амплитуды колебаний со временем уменьшаются, стремясь к нулю.

Поскольку процесс протекает за счет запасенной в цепи энергии, его называют свободными затухающими колебаниями контура. Периодом этих колебаний следует считать . Вообще говоря, – условный период, так как затухающие колебания не являются периодическим процессом. Графики изменения , , приведены на рис. 8.28.

Из соотношений и следует, что в момент времени, когда ток равен нулю, напряжение на конденсаторе максимально, а в момент времени, когда ток достигает максимального значения, напряжение на катушке равно нулю. Нулевые значения напряжений на конденсаторе и катушке сдвинуты по отношению к току на угол .

С энергетической точки зрения процесс затухающих колебаний отличается от незатухающих колебаний только тем, что в данном случае все время часть энергии теряется на активном сопротивлении. Таким образом, в интервале времени [0, t₁] энергия электрического поля частично преобразуется в тепло, а частично переходит в энергию магнитного поля. В интервале времени [t₁, t₂] энергия магнитного поля частично преобразуется втепло, а частично переходит в энергию электрического поля. Далее процесс перекачки энергии повторяется с периодом T/2 до тех пор, пока вся начальная энергия емкости не будет преобразована в тепло. Быстроту затухания рассматриваемых колебаний принято оценивать по декременту или логарифмическому декременту колебаний. Декрементом колебаний

называется отношение двух мгновенных значений (напряжений или токов) в моменты времени и , где – период затухающих колебаний. Логарифмический декремент колебаний – это натуральный логарифм данного отношения мгновенных значений. Следовательно, декремент колебаний			а)
б)		в)
Рис. 8.29

. (8.43)

Логарифмический декремент

.

(8.44)

Из выражения (8.43) и (8.44) следует, что декремент зависит только от параметров цепи. На декремент колебательного процесса большое влияние оказывает активное сопротивление цепи. С ростом затухание увеличивается, а при колебания прекращаются. Наоборот, при малых затухание мало, а при в контуре имеют место незатухающие колебания с угловой частотой .