8.4. Анализ переходных процессов в цепях второго порядка

8.4.1. Разряд конденсатора на индуктивность

и активное сопротивление

Конденсатор, заряженный до напряжения , включается в цепь, содержащую последовательно соединенные катушку индуктивности и активное сопротивление. Такой режим можно осуществить по схеме (рис. 8.27).

В первом положении переключателя конденсатор заряжается от источника постоянного напряжения через зарядное сопротивление до напряжения . Во втором положении переключателя заряженный конденсатор разряжается на катушку и активное сопротивление. При этом, поскольку в цепи после коммутации нет источника электромагнитной энергии, переходный процесс определяется только запасом энергии электрического поля конденсатора в момент замыкания ключа во второе положение.

Переходный процесс прекратится, когда весь начальный запас энергии электрического поля конденсатора будет израсходован на выделение тепла в активном сопротивлении. Таким образом, в данном случае установившиеся величины равны: , , т.е. принужденных составляющих напряжений и токов не будет.

Согласно законам коммутации начальные условия для переходного процесса имеют вид: ; .

Запишем дифференциальное уравнение для рассматриваемой схемы

. (8.27)

Выбрав за основную переменную с учетом связи , преобразуем уравнение (8.27) к виду

. (8.28)

Корни характеристического уравнения :

(8.29)

В зависимости от соотношения параметров цепи корни могут быть:

1. вещественными и различными, если дискриминант больше нуля,

т.е. , откуда или , где ;

2) комплексно сопряженными, если дискриминант меньше нуля, т.е.

, ;

3) вещественными и равными, если дискриминант равен нулю, т.е.

, .

Действительная часть каждого из корней должна быть меньше нуля ( ; )). В этом случае свободные составляющие всех токов и напряжений стремятся к нулю при .

Рассмотрим характер переходных процессов для всех трех случаев.

8.4.2. Апериодический разряд конденсатора

Апериодический разряд конденсатора протекает, если . В этом случае корни и характеристического уравнения – различные действительные отрицательные числа. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (8.32) определяется как сумма линейно независимых частных решений вида

, (8.30)

где и – произвольные постоянные. Постоянные интегрирования находим, используя начальные условия: , . При выбранном положительном направлении тока (см. рис. 8.27)

. (8.31)

Подставляя начальные условия в уравнения (8.30) и (8.31) при _{, получим систему уравнений для определения постоянных интегрирования:}

Решение этой системы: ; .

После подстановки этого решения в (8.30) и (8.31), получим временные зависимости напряжения на конденсаторе и тока в цепи:

; (8.32)

. (8.33)

В уравнении (8.33) использовано соотношение . Напряжение на катушке индуктивности получим из закона электромагнитной индукции

. (8.34)

Каждая из найденных величин , , состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненциальному закону с коэффициентами затухания и . Графики и как алгебраические суммы соответствующих экспонент показаны на рис. 8.28. При построении считалось, что .

Из рис. 8.28,а следует, что напряжение на конденсаторе монотонно уменьшается от до нуля, не меняя знака. Такой разряд конден- сатора, при котором энергия конденсатора непрерывно убывает, называется апериодическим. Ток (рис. 8.28,б) возрастает от нуля до некоторого максимума при , а затем убывает, асимптотически приближаясь к нулю. Напряжение на катушке (рис. 8.28,в) начинает свое изменение с – и

проходит через ноль при , затем, изменив знак, возрастает до максимума ( ) и далее асимптотически приближается к нулю. В момент напряжение на конденсаторе проходит точку перегиба, ток свой максимум, а напряжение на катушке равно нулю. Перегиб	а)
б)		в)

кривой тока и максимум наблюдаются в один и тот же момент времени, так как

.

Рассматривая рис. 8.28, иллюстрирующий апериодический разряд конденсатора, можно представить энергетический баланс цепи в переходном режиме. Мгновенная мощность конденсатора . Следовательно, конденсатор в течении всего переходного процесса отдает свою энергию. Энергия конденсатора непрерывно расходуется на покрытие тепловых потерь в активном сопротивлении цепи. В интервале времени от 0 до , когда конденсатор расходует энергию также на создание магнитного поля, т.е. часть энергии, запасенная в электрическом поле, переходит в энергию магнитного поля. С момента времени и до конца процесса тепловые потери покрываются не только за счет энергии электрического поля, но и за счет энергии магнитного поля, запас которой создан в интервале времени от 0 до . Когда вся энергия заряженного конденсатора превратится в тепло, переходный процесс в цепи закончится.