8.3.4. Включение цепи rc на синусоидальное напряжение

Цепь, содержащая последовательное соединение конденсатора и активного сопротивления (рис. 8.20), включается на синусоидальное напряжение . Для простоты расчетов будем считать, что до коммутации конденсатор был разряжен, т.е. Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением

(8.24)

Начальные условия для уравнения (8.24) получают из закона коммутации: Вид свободной составляющей и корень характеристического уравнения получают из однородного дифференциального уравнения (8.11) и они не зависят от характера приложенного напряжения.

Принужденную составляющую напряжения на конденсаторе получаем из расчета установившегося режима после коммутации. Поскольку установившийся режим синусоидальный, то для его расчета воспользуемся символическим методом.

Комплекс действующего значения приложенного напряжения . Выполняя расчет для комплексов действующих значений, получаем:

;

.

После перехода к мгновенным значениям получаем принужденную составляющую напряжения на конденсаторе в виде

,

где , .

Закон изменения напряжения на конденсаторе после коммутации получается как сумма свободной и принужденной составляющих:

.

Постоянную A определяем из начальных условий:

,

откуда

.

Таким образом, получаем временные зависимости напряжения и тока:

;

(8.25)

,

(8.26)

где .

Из выражений (8.25), (8.26) видим, что переходный процесс зависит от момента включения, т.е. от величины начальной фазы  приложенного к цепи напряжения. Если , то свободная составляющая напряжения будет наибольшей и в начальный момент имеет значение = . Если , т.е. , то в начальный момент происходит большой всплеск тока, намного превосходящий амплитуду . Однако такой большой ток длится незначительную часть периода, так как , и, следовательно, .

а)		б)

Проведя аналогичные предыдущему примеру рассуждения, можно доказать, что максимальное значение напряжения в переходном процессе не превышает удвоенной амплитуды напряжения на конденсаторе при новом установившемся режиме. Кривые изменения напряжения на емкости и тока в ней в функции от времени показаны на рис. 8.21. Графики построены в предположении, что включение происходит при и .

8.3.5. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи с одним реактивным элементом

Пример 8.5. Рассчитать токи в ветвях и напряжения на катушке индуктивности и источнике для переходного процесса в цепи, показанной на рис. 8.22,а. Параметры элементов: Ом; Гн; А.

Решение

1. Установившийся режим постоянного тока до коммутации:

A; ; ; B; B;

B.

а)		б)

2. Установившийся режим (принужденные составляющие) токов и напряжений рассчитаем по схеме, показанной на рис. 8.22,б:

; B; B; A; A;

B.

3. Расчет начальных условий

Независимые начальные условия следуют из закона коммутации: A. Зависимые начальные условия вычислим по схеме замещения для момента времени , показанной на рис. 8.23. В этой схеме катушка заменена источником тока . По схеме определяем:

Напряжение на источнике тока равно напряжению на катушке , направление которого

совпадает с направлением тока ветви. Напряжение же внешнего источника направлено навстречу току :

B,

B.

4. Для составления характеристического уравнения сначала запишем систему уравнений Кирхгофа для мгновенных значений свободных составляющих

Из этой системы заменой операции дифференцирования умножением на оператор р получим систему алгебраических уравнений, которую записываем в матричной форме

.

Вычислим определитель матрицы в левой части уравнения

и приравняем его к нулю: .

Полученное выражение и есть характеристическое уравнение цепи в переходном процессе. Корень этого уравнения

5. Функции токов и напряжений в переходном процессе можно представить в виде суммы свободной и принужденной составляющих:

, ,

, .

Постоянные интегрирования определим путем подстановки в полные решения начальных условий:

, , A;

, , A;

, , B;

, , B.

6. Таким образом, окончательные решения с учетом постоянных интегрирования получим в виде:

; ;

; .

Необходимо отметить, что можно было не вычислять постоянные интегрирования для всех токов и напряжений, а сделать это только для одного тока или напряжения, например, .

Остальные токи и напряжения получаем из уравнений по законам Кирхгофа:

А,

А,

или из дифференциальных соотношений между током и напряжением на элементах:

В.

Графики функций токов и напряжений показаны на рис. 8.24.

а)		б)

Пример 8.6

Рассчитать переходный процесс в цепи (рис. 8.25,а) с известными параметрами элементов: ; ; ; .

а)	б)	в)

Решение

1. Установившийся режим до коммутации рассчитаем по схеме, показанной на рис. 8.25,б. Заряды последовательно соединенных конденсаторов одинаковы, поэтому

; ; ; .

Подставляя эти выражения в уравнение по второму закону Кирхгофа, получим:

; ;

.

2. Установившийся режим после коммутации рассчитаем по схеме, показанной на рис. 8.25,в, в которой конденсатор соединен параллельно с резистором и в установившемся режиме будет разряжен. Поэтому

; B; .

3. Независимые начальные условия получаем из закона коммутации:

, .

4. Для составления характеристического уравнения сначала составим систему дифференциальных уравнений для свободных составляющих. Эту систему преобразуем к одному дифференциальному уравнению для напряжения :

В результате получаем дифференциальное уравнение

,

которому соответствует характеристическое уравнение

Корень характеристического уравнения .

5. Напряжение на конденсаторе получим как сумму свободной и принужденной составляющих:

.

Постоянную интегрирования вычислим из начального условия при :

; B.

Таким образом, окончательное решение имеет вид

, .

6. Расчет других токов и напряжений осуществим по уравнениям:

; ;

; ;

; ;

; .

Графики временных зависимостей напряжений и токов показаны на рис. 8.26.

а)		б)