8.3.2. Включение цепи r-l на постоянное напряжение

Рассмотрим подключение цепи (рис 8.16), состоящей из последовательно соединенных катушки и активного сопротивления, к источнику постоянного напряжения

По второму закону Кирхгофа запишем уравнение для -

(8.18) Начальные условия для уравнения (8.18) получаются из закона коммутации для тока в катушке .

Рис. 8.16

Решение уравнения (8.18) будем искать в виде суммы принужденной и свободной составляющих .

Принужденный ток (частное решение дифференциального уравнения) определяется как установившийся постоянный ток в цепи .

Свободный ток является общим решением однородного дифференциального уравнения

, (8.19)

то есть , где – корень характеристического уравнения . Ток переходного режима получается в виде

.

Постоянная интегрирования A вычисляется из начальных условий : и .

а)		б)
Рис. 8.17

Окончательная временная зависимость для переходного тока имеет вид

.

Напряжение на катушке индуктивности получается из уравнения по закону электромагнитной индукции

.

Графики зависимости тока и напряжения на катушке от времени показаны на рис. 8.17.

8.3.3. Включение цепи r,l на синусоидальное напряжение

Теперь рассмотрим подключение цепи, показанной на рис. 8.18, на синусоидальное напряжение . Уравнение по второму закону Кирхгофа в этом случае имеет вид (8.20)

Начальные условия для уравнения (8.20) те же, что и для уравнения (8.18): . Вид свободной составляющей и корень характеристического уравнения получаются из однородного дифференциального уравнения (8.19) и не зависят от характера приложенного напряжения.

Принужденная составляющая, наоборот, определяется характером приложенного напряжения и рассчитывается из установившегося режима работы цепи после коммутации. В рассматриваемом случае это цепь синусоидального тока, расчет которой осуществляем символическим методом.

Комплекс действующего значения приложенного напряжения . По закону Ома в комплексной форме определяем

.

После перехода к мгновенным значениям принужденная составляющая тока получается в виде

,

где , .

Общий интеграл уравнения (8.20) имеет вид

. (8.21)

Постоянную интегрирования A определяем из начального условия . Выражение (8.21) для момента времени примет вид , откуда .

Таким образом, можно переписать закон изменения тока в виде

. (8.22)

На синусоидальный ток нового установившегося режима накладывается свободный ток, изменяющийся по экспоненте. Причем свободный ток изменяется от начального значения до нуля. Важно отметить, что начальное значение свободной составляющей тока зависит от фазы тока в момент коммутации, а не только от соотношения параметров L и R.

При начальное значение и закон изменения тока (8.26) во времени можно представить графиком (рис. 8.19а).

а)	б)

Наибольшее мгновенное значение тока во время переходного процесса называют ударным током . Ударный ток определяет максимальное тепловое и динамическое действие тока переходного процесса, поэтому для практики знать очень важно.

Целесообразно установить, в каких пределах может изменяться отношение , и от чего зависит эта величина. Рассмотрим два предельных случая:

1) Коммутация происходит, когда . Свободная составляющая в этом случае не возникает и ток в цепи изменяется по синусоидальному закону. Следовательно .

2) Коммутация происходит, когда . Свободная составляющая при принимает наибольшее по модулю отрицательное значение . В этом случае значение ударного тока будет наибольшим. Максимум тока достигается к моменту времени , где T – период приложенного напряжения. Свободная составляющая тока к этому моменту времени уменьшается. Скорость затухания свободной составляющей обусловлена электромагнитной постоянной времени . Оценить верхний предел ударного тока можно, предполагая, что свободная составляющая тока не затухает, т.е. . Тогда . Для точного расчета наибольшего значения ударного тока при заданных параметрах цепи необходимо найти максимум функции .

Таким образом, значение ударного тока теоретически может изменяться от одинарного до двукратного значения амплитуды тока нового установившегося режима. На практике ударный ток получается в пределах , причем в низковольтных сетях, как правило, он имеет меньшие значения.

Напряжение на катушке получаем по закону электромагнитной индукции

.

Поскольку ; ; ; , то

. (8.23)

Напряжение на катушке (8.23) складывается из синусоидальной принужденной составляющей и экспоненциальной свободной составляющей (рис. 8.19,б). При второе слагаемое стремится к нулю и напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰. Напряжение на катушке изменяется в момент коммутации скачком.