8.3. Анализ переходных процессов в цепях первого порядка

8.3.1. Включение цепи r,c на постоянное напряжение

Рассмотрим подключение конденсатора с потерями к источнику постоянного напряжения (рис. 8.13). Пусть до замыкания ключа конденсатор заряжен до напряжения Если , то при замыкании ключа в цепи возникнет переходный процесс. Конденсатор будет заряжаться при или

разряжаться при . Задача расчета переходного процесса в заданной цепи сводится к нахождению тока и напряжений на элементах цепи как функций времени.

Для любого момента времени по второму закону Кирхгофа получаем

. (8.10)

Используя известную связь между током конденсатора и напряжением на его обкладках , преобразуем уравнение (8.10) к виду

(8.11)

Уравнение (8.11) является дифференциальным уравнением первого порядка. Начальное условие для интегрирования уравнения (8.11) сразу можно получить из закона коммутации: Решение уравнения (8.11) ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих

Принужденная составляющая напряжения на емкости определяется приложенным к цепи напряжением и рассчитывается из установившегося режима после коммутации. Поскольку в цепи постоянного тока конденсатор является разрывом, то согласно второму закону Кирхгофа получаем

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе получается, как общее решение однородного дифференциального уравнения

(8.12)

Решение уравнения (8.12) имеет вид где A – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение получается из однородного уравнения (8.12) заменой операции дифференцирования умножением на оператор : , откуда . Тогда решение уравнения (8.11) запишется в виде

(8.13)

Постоянная интегрирования вычисляется из начальных условий. При уравнение (8.13) имеет вид , откуда Подставляя выражение для постоянной интегрирования в соотношение (8.13), получаем окончательное выражение закона изменения напряжения на конденсаторе в виде

(8.14)

Зарядка ( ) или разрядка ( ) конденсатора происходит по экспоненциальному закону. Скорость нарастания напряжения на конденсаторе определяется величиной (показатель экспоненты). Чем больше величина , тем быстрее нарастает напряжение. Принято характеризовать эту скорость обратной величиной, которую называют электромагнитной постоянной времени . Электромагнитная постоянная времени имеет размерность времени

.

За промежуток времени, равный электромагнитной постоянной времени , свободная составляющая уменьшается в раз

Поскольку , то за время переходный процесс практически заканчивается, т.е. свободная составляющая затухает до значения, близкого к нулю (при расчетах с точностью до 2%) и можно считать, что переходный процесс длится в течение времени .

Графики изменения напряжения на емкости как функции времени показаны на рис. 8.14 при (а) и (б).

а)		б)

Дифференцируя (8.14) определим закон изменения тока во времени

На рис. 8.15 представлены графики изменения тока в рассматриваемой цепи при (а) и (б).

а)		б)

Теоретически ток в конденсаторе изменяется в момент коммутации мгновенно от 0 до . Это следует из уравнения по второму закону Кирхгофа и закона коммутации . Такое предположение удобно для расчета. Однако физическая картина явления иная. Практически любая цепь обладает индуктивностью и ток в цепи мгновенно измениться не может. При малых индуктивностях он нарастает от нуля очень быстро, но не мгновенно. Эта фаза переходного процесса не учтена при расчете. Возможность такого допущения определяется необходимой точностью расчета.

При включении на постоянное напряжение цепи, содержащей активное сопротивление и конденсатор, наблюдается интересное явление. При зарядке конденсатора независимо от параметров и всегда половина энергии источника во время переходного процесса расходуется на выделение тепла, а вторая половина идет на накопление энергии в электрическом поле конденсатора.

Энергия, отдаваемая источником, вычисляется по формуле . Поскольку , то

(8.15)

В выражении (8.15) – энергия, расходуемая на тепло; – энергия электрического поля конденсатора в установившемся режиме. С другой стороны, при получаем

, (8.16)

так как приложенное к цепи напряжение .

Таким образом, из сопоставления соотношений (8.15) и (8.16) получаем:

,

откуда

. (8.17)

Равенство (8.17) свидетельствует о том, что половина энергии, расходуемой источником за время переходного процесса, идет на создание электрического поля конденсатора, а другая половина расходуется на тепло, выделяемое в активном сопротивлении.