8.2. Общие принципы анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов заключается в решении системы независимых интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для цепи по первому и второму законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению высшего порядка с одним неизвестным. Таким образом, анализ (расчет) переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к интегрированию в общем случае неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Порядок дифференциального уравнения может быть определен заранее по виду электрической цепи. Он равен числу реактивных элементов схемы после ее упрощения, при котором несколько последовательно включенных катушек индуктивности заменяют одной эквивалентной катушкой и несколько параллельно включенных конденсаторов одним эквивалентным конденсатором. Если в цепи имеется узел, к которому сходятся только ветви с катушками, то токи в них связаны уравнением по первому закону Кирхгофа. Следовательно, порядок дифференциального уравнения будет меньше на единицу. Также следует поступить, если в электрической цепи имеется замкнутый контур, состоящий только из конденсаторов, поскольку напряжения на конденсаторах связаны уравнением по второму закону Кирхгофа.

В общем случае дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в цепи, имеет вид:

. (8.9)

Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (8.9) состоит из суммы двух составляющих:

, (8.10)

где – частное решение неоднородного дифференциального уравнения; – общее решение однородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения (8.9), правая часть которого равна нулю.

Эти формальные математические выкладки имеют физическую интерпретацию в электротехнике. Как известно, частное решение полностью определяется правой частью уравнения (т. е. имеющимися в цепи источниками электромагнитной энергии) и коэффициентами левой части (т. е. параметрами схемы). С физической точки зрения частное решение это напряжение или ток в ветви схемы в установившемся режиме. Указанное обстоятельство дает возможность не пользоваться достаточно сложным математическим аппаратом для нахождения частного решения . Частное решение получается из расчета заданной цепи в установившемся режиме после окончания переходного процесса и обычно называется принужденной составляющей.

Методы расчета принужденных составляющих зависят от вида источников энергии в цепи (постоянные, синусоидальные, несинусоидальные) и были рассмотрены в предыдущих разделах.

Общее решение однородного дифференциального уравнения , т. е. дифференциального уравнения с нулевой правой частью, также имеет физическую интерпретацию. Физически – это ток или напряжение ветви схемы, возникающие вследствие изменения энергии электромагнитного поля в катушках и конденсаторах. Источники электромагнитной энергии не оказывают никакого влияния на этот ток или напряжение (в правой части дифференциального уравнения стоит нуль). Обычно называют свободной составляющей.

Для дифференциального уравнения n-го порядка в случае простых корней характеристического уравнения ( ) функция имеет вид

,

где – постоянные интегрирования.

Характеристическое уравнение получается из однородного дифференциального уравнения заменой операции дифференцирования умножением на оператор р:

.

Для определения постоянных интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения, необходимо знать значения функции и ее производных до -го порядка в начальный момент времени . Вычисление этих значений, а также вычисление корней характеристического уравнения связано с большим объемом вычислений, что является серьезным недостатком рассматриваемого метода.

Следует отметить, что характеристическое уравнение составляется для переходного процесса, а не для конкретной переменной. Поэтому, при составлении характеристического уравнения обычно используют методику, отличную от рассмотренной выше. Систему интегро-дифференциальных уравнений Кирхгофа не преобразуют к одному дифференциальному уравнению. Вместо этого в исходной системе однородных уравнений заменяют операцию дифференцирования умножением на оператор р, а операцию интегрирования – делением на оператор р. В получившейся системе алгебраических уравнений вычисляют определить матрицы и приравнивают его к нулю. Полученный многочлен относительно р и дает характеристическое уравнение.

Возможна другая методика составления характеристического уравнения. В данном случае сначала записывают входное комплексное сопротивление цепи относительно зажимов источника, включенного в произвольную ветвь. Другие источники удаляют (источники э.д.с. закорачивают, источники тока размыкают), так как от них не зависит характеристическое уравнение. В комплексном сопротивлении проводят замену на p и приравнивают сопротивление нулю. Полученный полином относительно p является характеристическим уравнением цепи.

На основании изложенного можно сформулировать последовательность классического метода расчета переходных процессов в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами.

1. Расчет установившегося режима до коммутации. Метод расчета зависит от вида источника энергии (постоянный, синусоидальный, несинусоидальный).

2. Расчет установившегося режима после коммутации (принужденной составляющей). Метод расчета также зависит от вида источника энергии (постоянный, синусоидальный, несинусоидальный).

3. Расчет начальных условий. Независимые начальные условия уже получены из расчета установившегося режима до коммутации. Для расчета зависимых начальных условий составляется схема замещения для момента времени .

4. Составление и решение характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составляют, исходя из системы уравнений по законам Кирхгофа или из выражения входного сопротивления цепи.

5. Вычисление постоянных интегрирования для выбранного тока или напряжения. Функции токов и напряжений представляют в виде суммы свободной и принужденной составляющих. Постоянные интегрирования вычисляют, исходя из начальных условий, определенных в п. 3 алгоритма.

6. Расчет остальных токов и напряжений. Остальные токи и напряжения можно вычислить двумя способами. Первый из них заключается в повторении п.5 для каждого тока или напряжения. Во втором случае используются уравнения по законам Кирхгофа и уравнения элементов.

Рассмотрим применение изложенного выше алгоритма на примерах. Начнем рассмотрение с переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом.