8.1.4. Некорректные начальные условия
Как уже отмечалось выше, при расчете переходного процесса по упрощенной схеме замещения устройства, могут возникнуть некорректные начальные условия. Они возникают при такой идеализации устройств, в результате которой получаются цепи, содержащие последовательное соединение нескольких катушек или параллельное соединение конденсаторов. В данном случае законы коммутации необходимо применять в виде (8.1) и (8.3). Рассмотрим особенности расчета начальных условий в таких цепях на конкретных примерах.
Пример 8.5
В цепи (рис. 8.11,а) к
конденсатору
,
заряженному до напряжения
,
подключается незаряженный конденсатор
.
Найти значения напряжения на конденсаторах
при
.
а) |
|
б) |
|
|
|||
Решение
Легко
убедиться, что закон коммутации для
конденсатора в виде (8.4) не выполняется.
Действительно, напряжения на конденсаторах
до коммутации
и
.
После подключения второго конденсатора
напряжение на них выравнивается
,
что противоречит закону коммутации в
виде (8.4), который требует выполнения
равенств:
и
.
Противоречие имеет место потому, что задача была поставлена некорректно, т. е. не были учтены малые параметры, которыми нельзя пренебречь в этой задаче. Если малые параметры принять во внимание, то задача становится корректной, и закон коммутации в виде (8.4) не нарушается.
Например, для
корректной постановки задачи можно
было учесть сопротивление соединительных
проводов (рис. 8.11,б). В данном случае
первоначальная разность начальных
напряжений на конденсаторах будет
скомпенсирована напряжениями на
сопротивлениях
и
.
Если сопротивления проводов малы, то в
соединительном проводе пойдет большой
ток, и напряжения на конденсаторах
быстро сравняются.
Другой возможностью корректной постановки задачи, является учет сопротивления контакта, замыкающего цепь. Это сопротивление сначала было бесконечно велико и лишь постепенно (хотя и очень быстро) спадает до нуля. Постановка задачи была бы также корректной, если в контуре, образованном после замыкания рубильника, учесть наличие малой индуктивности.
Учитывая эти малые параметры, можно поставить задачу корректно: все начальные условия в точности будут соответствовать двум законам коммутации в виде (8.2) и (8.4). Однако ценой этого является значительное усложнение задачи.
Если длительность
всех процессов, обусловленных наличием
дополнительных малых параметров, очень
мала по сравнению с постоянной времени
основной цепи (в рассматриваемом случае
с
),
то идеализация цепи (см. рис. 8.11,а) вполне
оправданна. При этом необходимо
пользоваться обобщенными законами
коммутации в виде (8.1) и (8.3).
В рассматриваемом примере сумма зарядов в узле электрической цепи мгновенно измениться не может:
или
.
(8.8)
Напряжения
на обоих конденсаторах в момент коммутации
изменяются скачком, причем напряжение
уменьшается, а
возрастает. При этом алгебраическая
сумма токов ветвей с конденсаторами
остается величиной конечной, поскольку
на основании первого закона Кирхгофа
ток
.
Напряжения на конденсаторах в момент коммутации удовлетворяют соотношениям: ; ;.
Тогда из уравнения (8.8) получаем:
|
Рис. 8.12 |
;
.
Пример 8.6
К цепи (рис. 8.12) приложено постоянное напряжение . Определить токи в катушках в момент времени .
Решение
В режиме до коммутации токи в катушках:
;
.
Применяя закон коммутации для катушки индуктивности в виде (8.1) получаем
или
.
Откуда
.
Таким образом, общие правила расчета начальных условий при коммутации в электрической цепи сводятся к следующему:
1. При коммутациях в цепях с катушками индуктивности и конденсаторами нужно использовать принципы непрерывности потокосцепления контура и суммарного заряда узла. Если индуктивность и емкость не изменяются, то можно пользоваться принципами непрерывности тока катушки и напряжения на конденсаторе.
2. При определении независимых начальных условий необходимо использовать уравнения состояния цепи в режиме до коммутации.
3. При определении
зависимых начальных условий нужно
использовать систему уравнений цепи в
момент времени
.
4. Величины напряжений и токов в момент времени предпочтительнее определять при помощи схем замещения, в которых катушки заменены источниками тока, а конденсаторы – источниками э.д.с.