8.1.3. Начальные условия

Значения величин при (начальные условия) разделяют на зависимые и независимые. Начальные условия, вытекающие из законов коммутации, называют независимыми начальными условиями. Они получаются из расчета установившегося режима до коммутации. Все остальные начальные условия называют зависимыми. Они вычисляются по законам Кирхгофа из схем замещения, составленных для момента времени .

Правила составления схем замещения кратко можно сформулировать следующим образом. При нулевых начальных условиях в момент коммутации катушка ведет себя как разрыв, а конденсатор – как короткое замыкание (рис. 8.3). При ненулевых начальных условиях в момент коммутации катушку можно рассматривать как источник тока , а конденсатор как источник э.д.с. (рис. 8.4). Все остальные элементы цепи переносятся на схему замещения без изменения.

Далее приведем примеры вычисления зависимых и независимых начальных условий.

Пример 8.1

Построить эквивалентную схему замещения цепи для расчета зависимых начальных условий в цепи, показанной на рис. 8.5,а.

Решение

В момент согласно законам коммутации сохраняются значения тока через катушку и напряжения на конденсаторе . Поэтому в момент коммутации катушка равносильна источнику тока , а конденсатор – источнику э.д.с. .

В схеме замещения (рис. 8.5,б) ключ находится в положении после коммутации . При этом источник тока направляют вдоль тока , а источник , в соответствии с принципом компенсации, навстречу напряжению . Э.д.с. внешнего источника в схеме замещения принимает значение , соответствующее моменту времени .

а)	б)

Необходимо отметить, схема (рис. 8.5,б) справедлива только для момента и поэтому не содержит реактивных элементов. Для расчета схемы замещения можно воспользоваться любым из рассмотренных ранее методов (см. главу 2).

Пример 8.2 Цепь (рис. 8.6) подключена к источнику постоянного напряжения U. Определить значения токов и напряжение на емкости в момент времени , если заданы сопротивления , . Решение Считаем, что до коммутации был

установившийся режим, в котором конденсатору соответствует разрыв цепи (рис. 8.7,а). Таким образом, токи

, .

а)		б)

Тогда напряжение на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации

.

По закону коммутации для конденсатора .

Схема замещения для расчета начальных условий показана на рис. 8.7,б. Начальные условия вычисляются из системы уравнений по законам Кирхгофа:

Таким образом, значения токов в момент времени :

;

; .

Значения токов и напряжений в момент времени не зависят от величин реактивных параметров.

Пример 8.3 Цепь (рис. 8.8) подключается к источнику постоянного напряжения U. определить значения токов и их первых производных в момент времени , если заданы параметры элементов R, L, C. Решение Независимые начальные ус-

ловия определяются из установившегося режима до коммутации: , .

Для расчета зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа для момента времени :

(8.5) (8.6) (8.7)

Решаем систему с учетом законов коммутации: ; . В результате получаем

.

Из уравнения (8.6) находим производную

.

Из дифференциального соотношения , определяем производную напряжения на емкости:

.

Продифференцируем уравнения (8.5) и (8.7) и запишем их для :

Из полученных соотношений находятся недостающие производные:

;

.

Пример 8.4

К цепи (рис. 8.9,а) приложено синусоидальное напряжение В. Определить начальные значения тока в катушке индуктивности, напряжения на конденсаторе и их производных в момент времени , если параметры элементов цепи: =10 Ом; =20 мГн; =100 мкФ.

а)	б)

Решение

1. Для расчета тока через катушку и напряжения на конденсаторе в установившемся режиме до коммутации (рис. 8.9,б) применим символический метод. Индуктивное и емкостное сопротивления:

Ом; Ом.

Комплекс амплитудного значения входного напряжения В. Тогда, применяя закон Ома в комплексной форме, получаем

А;

В.

Временные зависимости тока в катушке и напряжения на конденсаторе имеют вид:

А; В.

В момент коммутации значения этих функций:

А; .

Зависимые начальные условия определяем по схеме замещения (рис. 8.10) для момента времени . Начальные условия для напряжения на конденсаторе нулевые, поэтому конденсатору на схеме замещения соответствует закоротка и . Начальные условия для тока через катушку индуктивности ненулевые и на схеме замещения катушке соответствует источник тока А. Приложенное напряжение

В.

Используя уравнение по второму закону Кирхгофа, получаем напряжение на катушке: . Значения производных тока через катушку и напряжения на конденсаторе легко получить из уравнений элементов:

; .

В результате

, .