
- •Глава 8
- •8.1.2. Законы коммутации
- •8.1.3. Начальные условия
- •8.1.4. Некорректные начальные условия
- •8.2. Общие принципы анализа переходных процессов
- •8.3. Анализ переходных процессов в цепях первого порядка
- •8.3.1. Включение цепи r,c на постоянное напряжение
- •8.3.2. Включение цепи r-l на постоянное напряжение
- •8.3.3. Включение цепи r,l на синусоидальное напряжение
- •8.3.4. Включение цепи rc на синусоидальное напряжение
- •8.3.5. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи с одним реактивным элементом
- •8.4. Анализ переходных процессов в цепях второго порядка
- •8.4.1. Разряд конденсатора на индуктивность
- •8.4.2. Апериодический разряд конденсатора
- •8.4.3. Предельный апериодический разряд
- •8.4.4. Периодический (колебательный) разряд конденсатора
- •8.4.5. Расчет переходного процесса в цепи с двумя реактивными элементами
- •8.5. Переходные процессы при некорректных коммутациях
- •Пример 8.10
- •Для заданной схемы:
- •Контрольные вопросы
8.4.5. Расчет переходного процесса в цепи с двумя реактивными элементами
Пример 8.7
Цепь
(рис 8.30) подключена к источнику постоянного
напряжения
.
Параметры элементов цепи:
;
;
Гн. Рассчитать токи и напряжения в
переходном режиме.
Решение 1. Установившийся режим до коммутации и независимые начальные условия
2. Установившийся режим после коммутации или принужденные составляющие: |
|
.
3.
Характеристическое уравнение получим,
заменяя
на
в комплексном
входном сопротивлении цепи и приравнивая
его к нулю:
;
.
Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид
.
Корни характеристического уравнения:
4.
Полное решение для тока
при различных действительных корнях
имеет вид
.
Используя второй закон Кирхгофа и уравнения элементов, получим общие выражения для напряжений:
;
.
Постоянные интегрирования определим из алгебраической системы уравнений, полученной в результате подстановки в общие выражения для и независимых начальных условий
;
;
.
5. Ток
и напряжение
записываем на основании полученных
общих решений с учетом найденных
постоянных интегрирования
.
Остальные величины определяем по законам Кирхгофа и уравнениям элементов:
a) |
|
б) |
|
Рис. 8.31 |
.
Временные зависимости токов и напряжений показаны на рис. 8.31.
Пример 8.8
Цепь
(рис. 8.32) подключена к источнику
синусоидального напряжения
.
Параметры элементов цепи:
Решение 1. Расчет электрической цепи в установившемся режиме до коммута- |
|
ции
выполним по схеме, показанной на рис.
8.33, символическим методом. Комплекс
действующего значения приложенного
напряжения
.
По закону Ома найдем ток
.
Мгновенное
значение тока до коммутации
.
Таким образом, в момент коммутации ток
в катушке
и напряжение на конденсаторе
,
так как в момент замыкания ключа
конденсатор не был заряжен.
|
|
|
|
2.
Расчет установившегося режима после
коммутации выполним по схеме, показанной
на рис. 8.34, символическим методом.
Комплекс действующего значения
приложенного напряжения
.
Расчет напряжения на конденсаторе
выполним для комплексов действующих
значений:
;
;
.
Таким образом, мгновенное значение принужденной составляющей напряжения на конденсаторе
.
3. Входное сопротивление цепи осталось тем же, что и в примере 8.7. Следовательно, не изменилось и характеристическое уравнение:
,
или,
подставляя значения параметров цепи
.
Откуда
.
4. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в момент времени :
С
учетом законов коммутации
и
система имеет решение:
;
.
5. Напряжение на конденсаторе может быть записано как сумма принужденной и свободной составляющих:
.
Для нахождения постоянных интегрирования и вычислим так же производную напряжения
При
;
.
Таким образом, получаем систему уравнений
Решение
этой системы:
В,
В.
Окончательно закон изменения напряжения на конденсаторе имеет вид
.