![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении. Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.3. Уравнения, приводящиеся к однородным.
- •2) Метод Лангранжа – метод вариации произвольной постоянной.
- •3.5 Уравнение Бернулли
- •3.6. Уравнение в полных дифференциалах.
- •3.7 Интегрирующий множитель
3.5 Уравнение Бернулли
Определение. Уравнение Бернулли называется уравнение вида
(1)
где n – любое действительное число, не равное 0 и 1, Р(х) и Q(х) – непрерывные функции.
При n=0 уравнение (1) принимает вид
и становится линейным уравнением
При n=1 уравнение (1) принимает вид
или
и становится уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием.
Разделим все члены уравнения (1) на yn
(2)
сделаем
замену
подставляя в уравнение (2), предварительно умножив его на (1-n), получим
(3)
Это
линейное уравнение относительно функции
z.
Решив его и подставив вместо
, получим решение уравнения (1).
Пример.
разделим на
подстановка
- уравнение линейное
Общее решение
Подставим вместо
или
общее решение данного уравнения
Замечание.
Можно доказать, что уравнение Бернулли
можно решать подстановкой
.
Пример.
Решить самостоятельно подстановкой .
3.6. Уравнение в полных дифференциалах.
Определение. Уравнение
(1)
называется
уравнением
в полных дифференциалах,
если
и
-
непрерывные, дифференцируемые функции,
для которых выполняется соотношение
,
(2)
причем
и
непрерывны в некоторой области.
При
выполнении условия (2) левая часть
уравнения (1) представляет полный
дифференциал некоторой функции
.
Уравнение (1) можно записать в виде
(3)
Общее решение этого уравнения будет
,
где С – произвольная постоянная.
Полный дифференциал некоторой функции выражается формулой
,
т.е.
.
Тогда
,
(4)
Дифференцируя 1ое соотношение по у, а 2ое по х получим
,
.
Т.к.
,
то
,
т.е. равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции . Покажем, что это условие является и достаточным, т.е. при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции .
Из
соотношения
находим
,
где
- область решения.
При
интегрировании по х, у – считали
постоянной, поэтому она входит в состав
произвольной постоянной. Подберем
функцию
так,
чтобы
выполнялось второе условие равенства
(4). Продифференцируем последнее равенство
по у
Учитывая,
что
,
,
можем написать
или
,
откуда
или
.
Итак, будет иметь вид
Точка
области,
в которой существует решение уравнения
(1).
Общее решение уравнения (1) запишем так:
Пример.
Условие выполняется
Общее
решение
3.7 Интегрирующий множитель
Пусть для уравнения (1)
не
выполняется условие
,
т.е.
.
Иногда
удается подобрать такую функцию
,
после умножения на которую всех членов
уравнения (1), левая часть уравнения
становится полным дифференциалом. Общее
решение полученного уравнения совпадает
с общим решением первоначального
уравнения. Функция
называется интегрирующим
множителем
уравнения (1).
Найдем
формулы, по которым можно вычислить
интегрирующий множитель. Умножим обе
части уравнения (1) на множитель
:
Для того, чтобы это уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия
т.е.
или
Разделим обе части этого равенства на , получим
(2)
Всякая функция , удовлетворяющая уравнению (2), является интегрирующим множителем уравнения (1).
Уравнение (2) является уравнением в частных производных с неизвестной функцией , зависящей от двух переменных х и у.
Задача нахождения из уравнения (2) не из легких. Только в некоторых частных случаях удается найти функцию .
Пусть
-
интегрирующий множитель, который зависит
только от у, тогда
.
Из
уравнения (2) получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение
,
из которого определим
,
а затем
.
Его
можно решить, если только выражение
зависит только от у.
Аналогично,
если
- интегрирующий множитель, зависит
только от х.
Из уравнения (2) получим уравнение
Решаем
его, если выражение
зависит только от х.
Пример. Г.Н. Берман № 4061
Выражение
не подходит
Выражение
подходит
Умножим
обе части данного уравнения на
Новое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Общее решение данного уравнения