![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении. Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3.3. Уравнения, приводящиеся к однородным.
- •2) Метод Лангранжа – метод вариации произвольной постоянной.
- •3.5 Уравнение Бернулли
- •3.6. Уравнение в полных дифференциалах.
- •3.7 Интегрирующий множитель
3.3. Уравнения, приводящиеся к однородным.
К
однородным ур-ям приводятся ур-ия вида
(1)
где
,
- хотя бы одно из них отлично от нуля.
Пусть
(2)
тогда
Подставим в ур-ие (1)
(3)
Подберем
и
так,
чтобы
(4)
Тогда ур-ие (3) примет вид
Это
однородное ур-ие. Решив его и возвращаясь
к переменным
и
по формулам (2) получим решение ур-ия
(1).
Система
(4) не имеет решения, если
т.е.
или
В
этом случае обозначим
откуда
,
и ур-ие (1) примет вид
(5)
Тогда
примем подстановку
(6)
(7)
Подставляя выражения (6) и (7) в ур-ие (5) получим
а это есть ур-ие с разделяющимися переменными.
Примеры.
1)
Ур-ие
однородное
Учитывая,
что
Получим
- общее
решение
2)
+
Т.К.
,
то
Общее решение
3.4 Линейные уравнения первого порядка.
Определение
Линейным уравнением первого порядка
называется уравнение, линейное
относительно неизвестной функции У
и
ее производной
.
- 1
Где
,
-
заданные
функции
от
х (или
постоянные)
Рассмотрим следующие методы решения:
Метод Бернулли
Неизвестное
функцию ищем в виде произведения двух
неизвестных функций
- 2
-3
Одну
из этих функций можно взять произвольной.
Выберем функцию и так чтобы
- 4 – Это
уравнение с разделяющимися переменными
Нам
достаточно какого-нибудь отличного от
нуля решения уравнения – 4, то возьмем
- 5 и
подставим в уравнение -3, получим
или
Откуда
Подставляя u uv в формулу в формулу (2), получим
(6)
Замечание Покажем, что решение (6) не изменится, если мы возьмем
т.е. сохраним постоянную С1
Подставляя в решение (6)
При раскрытии скобок в первом слагаемой С1 сокращаются, а во втором получаем С1∙С. Это есть постоянная и ее можно просто обозначить С, т.е. выражение (6) не изменилось.
Пример.
-
общее решение
2) Метод Лангранжа – метод вариации произвольной постоянной.
Вместо
уравнения
(1) рассмотрим уравнение
(7)
Это однородное уравнение, решая его
получим
уравнение
(8)
Оно содержит произвольную постоянную С.
Решение уравнения (1) будем искать в форме (8), полагая, что С – функция от x, т.е.
(9)
дифференцируя, находим
Подставляя
y
и y’
в уравнение (1), получим
или
откуда
интегрируя получим
где
- произвольная постоянная
И, наконец, общее решение уравнения (1) будет
Пример.
решим соответствующее однородное уравнение
Подставим в данное уравнение
подставим в получим
- общее решение
где С* - const
Замечание. Если х – считать неизвестной функцией, а у – независимой переменной, то линейное уравнение имеет вид
и
решается подстановкой
где
,