ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРЖОНИКИДЗЕ

В.В. БОМАС

В.И. ЕСКИН

М.А. КРАСОВСКАЯ

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

ПО КУРСУ

"ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ"

Утверждено

на заседании редсовета

4июля 1991 г.

Москва

Издательство МАИ

1992

519.2 (075)

Б 801

УДК: 519.8 (075.6)

Бомас В.В., Ескин В.И., Красовская М.А. Лабораторные работы по курсу “Исследование операций” – М.: Изд-во МАИ, 1992. – 28 с.: ил.

Работы относятся к первой части курса “Исследование операций” – к теории массового обслуживания и надежности. Выполнение работ ориентировано на применение ЭВМ и требует навыков программирования.

Пособие предназначено для студентов МАИ, специализирующихся по АСУ, а также может быть полезно студентам других специальностей, изучающих исследование операций.

Рецензенты: Дмитриев О.Н., Трубин В.В.

© Московский авиационный институт, 1992

ПРЕДИСЛОВИЕ

Представлены четыре лабораторные работы. Работа № 1 посвящена исследованию нестационарного режима в марковской системе массового обслуживания (СМО); работа № 2 – исследованию немарковской СМО методом имитационного моделирования; в работе № 3 исследуется надежность резервированной восстанавливаемой системы методами теории массового обслуживания; в работе № 4 исследуется СМО и оптимизируются их параметры.

Все лабораторные работы носят характер исследования и выполняются с применением ЭВМ, что требует от студентов определенных навыков программирования.

В конце каждой работы приводятся контрольные вопросы для самопроверки.

Основой для настоящего пособия послужило руководство к лабораторным работам “Модели массового обслуживания” под редакцией Бомаса В.В. (М., МАИ, 1985 г.).

Работа № I написана В.В.Бомасом и М.А.Красовской, работа № 2 – В.И.Ескиным, № 3 – В.В.Бомасом, № 4 – Бомасом В.В. и М.А.Красовской. Авторы приносят свою благодарность П.А. Босину, который принял большое участие в постановке работ № 2 и 3.

Работа №1. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА

В МАРКОВСКОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Цель работы - изучение методов исследования нестационарного режима в Марковской СМО с ограниченной длиной очереди (типа М/М/I) и оценка влияния параметров СМО на длительность переходного процесса.

Порядок выполнения работы.

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для одноканальной СМО с одним местом ожидания в очереди (типа М/М/I) аналитическим методом рассчитать вероятность того, что к моменту t в системе будет ровно k требований. Обозначить эту вероятность P_k(t). Аналогичные расчеты провести численным методом на ЭВМ и оценить достигнутую точность численного метода.

3. Для заданного варианта СМО исследовать зависимость длительности переходного процесса в СМО от его параметров. При расчетах принять в качестве времени окончания переходного процесса в системе время, за которое все реализации Pk(t) вошли в 5%-ую трубку от установившегося состояния.

4. построить графики, на которых изобразить результаты, полученные в пп. 2 и 3.

5. Рассчитать на ЭВМ математическое ожидание числа занятых каналов и среднюю длину очереди в переходном режиме и сравнить результаты с аналогичными значениями в установившемся режиме.

6. Оформить отчет, в котором привести результаты машинного и ручного счета, графики.

7. Ответить на контрольные вопросы.

Основные положения.

Аналитическое исследование СМО с конечным числом состояний.

Имеется n-канальная СМО, на вход которой поступает простейший поток требований с интенсивностью λ. Время обслуживания в каждом канале распределено по экспоненциальному закону с параметром μ (интенсивность процесса обслуживания). Максимальная длина очереди ограничена числом m. Если хотя один канал свободен, то пришедшее требование сразу поступает на обслуживание.

Когда каналы заняты, пришедшее требование становится в очередь. Если же в очереди уже находятся m требований, то пришедшее требование получает отказ в обслуживании и покидает систему. Происходит потеря требования.

Обозначим K(t)-число требований, находящихся в СМО в момент времени t. Для описания процесса K(t) необходимо знать вероятности Pk(t)=P{K(t)=k}, где 0≤k≤n+m.

В данной системе процесс K(t) можно рассматривать как процесс размножения и гибели. В результате вероятности состояний системы описываются следующими уравнениями [1]:

Исследуемая СМО имеет конечное число состояний и, следовательно, при достаточно длительном функционировании должна входить в режим статистического равновесия. Этот режим, как известно, характеризуется стационарным распределением вероятностей, не зависящим от начальных условий: для всех k=0,1,…,n+m.

Для тех СМО, период функционирования которых столь велик, что большую его часть они находятся в состоянии статистического равновесия, бывает достаточно ограничиться стационарным распределением вероятностей и, исходя из него, вычислить все показатели эффективности СМО. Однако поведение многих СМО представляет интерес в период, непосредственно следующий за началом функционирования (в частности, тех СМО, период функционирования которых невелик). Для таких систем необходимо изучение их в нестационарном режиме, предшествующем режиму статистического равновесия. Кроме того, обосновано ограничиться исследованием только режима статистического равновесия можно лишь в том случае, если известно, когда он наступает. Для этого также необходимо изучение нестационарного режима.

Анализ нестационарного режима можно провести, решив систему (1.1). Ее удобно решать с помощью преобразований Лапласа. Обозначим

В качестве начальных условий примем

Применяя преобразования Лапласа к системе (1.1) и учитывая, что

имеем

Система (1.4) содержит n+m+1 алгебраических уравнений. Она может быть разрешена с использованием правил Крамера:

,

где (s) – главный определитель системы (1.4); _k(s) – присоединенный определитель, полученный из главного определителя (s) путем замены его k-го столбца (т.е. столбца, состоящего из коэффициентов при искомом изображении P_k(s)) столбцом, состоящим из правых частей системы (1.4).

Главный определитель системы (s) можно вычислить, используя рекуррентную процедуру последовательного разложения определителя по столбцам и строкам.

Как известно, наибольшие трудности применения такого метода решения системы дифференциальных уравнений заключены в отыскания оригинала по изображению. Эта задача упрощается в связи с тем, что изображение (1.5) имеет дробно-рациональную форму. Можно показать [2], что обратное преобразование Лапласа для данной задачи имеет вид:

где S_i - значение i-го корня полинома _I(s).

_I(s) находится из соотношения (s)=S_I(S).

Учитывая, что при S0 имеет место t, а также, что S_k<0 для всех k=1,2,...,n+m, первое слагаемое выражения (1.5) можно трактовать следующим образом:

Это означает, что первое слагаемое в формуле для P_k(t) отвечает финальной

вероятности P_k, а второе - описывает изменение вероятности P_k(t) в нестационарном режиме.

Полином _I, корни которого надо найти, имеет порядок n+m. Следовательно, в большинстве практических случаев аналитическое исследование нестационарного режима описанным методом сопряжено с решением алгебраических уравнений высокого порядка. В этих случаях наиболее употребительным способом поиска корней является метод итераций (последовательных приближений).

На основании сказанного можно сделать вывод, что аналитическое исследование нестационарного режима в многоканальных СМО чрезвычайно трудоемко, а в случаях, когда число каналов и мест в очереди достаточно велико, в силу технических трудностей не может осуществиться без применения вычислительной техники.

Поэтому при решении задач такого рода наряду с аналитическими (а иногда и вместо них) необходимо пользоваться и численными методами исследования.

Пример. Рассмотрим одноканальную систему с одним местом ожидания (n = 1, m = 1). Уравнения для вероятностей состояний такой системы имеют вид

Преобразование Лапласа приводит к системе трех алгебраических уравнений:

Определитель системы

Приравнивая (s) к нулю, находим полюса изображения P_k(s), k=0,1,2:

Так как >0 и >0, то S₁ и S₂ отрицательны и различны. Теперь вычислим присоединенные определители _k(s):

Согласно правилу Крамера имеем

Для определения оригинала необходимо вычислить производную выражения, стоящего в знаменателе в квадратных скобках.

Имеем

Запись выражений для оригиналов P_k(t) в общем случае громоздка, хотя принципиально легко выполнима. Поэтому вычислим вероятность P_k(t) для конкретных значений  и . Однако предварительно проверим правильность полученных выражений. Отношение полиномов _k(0)/_I(0) представляет собой вероятность k-го состояния в режиме статистического равновесия, т.е. финальную вероят­ность P_k()=P_k. Эти вероятности должны отвечать нормирующему условию . Кроме того, как следует из анализа стационарного режима, для них должны выполняться соотношения

Имеем

Требуемые соотношения выполняются.

Вычислим вероятности состояний в переходном режиме, полагая  = 5,  = 10. Промежуточные результаты расчета приведены в табл. 1.1.

Произведя вычисления с точностью до одной сотой, получим

Т а б л и ц a 1.1

k	Sk		0(Sk)	1(Sk)	2(Sk)
1	-7,93	14,14	-35	10,4	25
2	-22,07	-14,14	35	-60,4	25

Для наглядности полученные зависимости изображены на рис. 1, откуда видно, что, начиная примерно с t = 0,8, в системе устанавливается стационарный режим.

Pk(t)

Рис. 1.

При оценке этих результатов следует иметь в виду, что время измеряется в условных единицах, точнее – в тех же единицах, которые были использованы при задании интенсивностей  и . Так, например, если  = 5 следует понимать как 5 требований в минуту, то стационарный режим в системе наступает примерно через 50 с после начала функционирования, если же  = 5 означает 5 требований в сутки, то стационарный режим возникает спустя 19,2 ч.

Имея распределение вероятностей, можно для фиксированного значения t находить числовые характеристики эффективности функционирования системы. Так, например, при t = 0,1 вероятность того, что канал занят, равна (0,1) = 0,22, вероятность отказа P_отк(0,I) = 0,05, среднее число занятых каналов (0, 1) = I, (0,1) = 0,22.

Исследование численным методом. Как уже отмечалось, как правило, в силу высокого порядка системы дифференциальных уравнений (1.1) анализ нестационарного режима работы СМО аналитическим методом чрезвычайно затруднен. В этих случаях используют численный метод интегрирования системы (1.1) на ЭВМ с помощью известных методов Рунге - Кутты, Эйлера и т.д. Инструкцию по работе с программой для исследования нестационарного режима марковских СМО получить у преподавателя.