3 . Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение

Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения. При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая называется осью вращения тела.

Ч

Рис. 15

ерез ось вращения проведём неподвижную плоскость и подвижную , скреплённую с вращающимся телом (рис 15). В момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол называется углом поворота тела. Положение тела относительно выбранной системы отсчёта полностью определяется в любой момент времени

,

где - любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении. Траектория точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями.

Алгебраической угловой скоростью тела в какой–либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т.е.

.

Модуль угловой скорости обозначают .

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т. е. вторую производную от угла поворота . Модуль углового ускорения обозначим , тогда

.

Размерность углового ускорения:

= угловая скорость / время = рад / с² = с^-2.

Частные случаи вращения твердого тела

Вращение называется равномерным, если = const.

; ; ; ,

Вращение будет равнопеременным, если = const. Алгебраическое угловое ускорение при этом тоже постоянно. Его при интегрировании можно вынести за знак интеграла. Имеем

; ; ; ;

Если при t = 0.

Так как

; ,

То

и

,

Если = 0 при t = 0.

С корости и ускорения точек тела

Алгебраическую скорость точки М определяем по формуле

.

Модуль скорости точки

.

С

Рис. 16

корости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их кратчайшим расстояниям до этой оси (рис. 16). Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, следовательно, перпендикулярны радиусам вращения.

Ускорение точки разлагаем на касательную и нормальную составляющие, т. е.

.

Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам

; ,

так как для окружности радиус кривизны (рис. 17). Таким образом,

, ; .

К

Рис. 17

асательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону.

Векторы угловой скорости и углового ускорения

В ведем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если - единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости и углового ускорения определяют выражениями

; .

Так как - постоянный по модулю и направлению вектор, то из вышеприведенных формул следует, что

Рис. 18

.

При и направления векторов и совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Oz (рис. 18,а). Если и , то они направлены в противоположные стороны (рис. 18, б).