6. Вычисление углового ускорения

1. Если известны проекции угловой скорости на подвижные или неподвижные оси координат , , , то проекции углового ускорения на те же оси определяют по формулам

; ;

2. Другой способ определения углового ускорения основан на его разложении на две взаимно перпендикулярные составляющие. Если ввести единичный вектор , направленный по , то

Составляющая полного углового ускорения направлена по вектору , когда , и противоположно ему при .

Составляющая полного углового ускорения всегда перпендикулярна , так как производная по времени от единичного вектора есть вектор, перпендикулярный дифференцируемому единичному вектору и, следовательно, перпендикулярный вектору .

Вектор углового ускорения пройдет через неподвижную точку и будет параллелен касательной к годографу вектора . Окончательно направление берут по направлению вращения мгновенной оси в зависимости от угловой скорости .

7. Общий случай движения свободного твердого тела у равнения движения свободного твердого тела

; ; ; ; ; ;

Эти уравнения являются кинематическими уравнениями движения свободного твердого тела в общем случае его движения.

П

Рис. 43

ервые три уравнения для рассматриваемого движения свободного тела зависит от выбора точки О тела; последние три уравнения ( углы Эйлера ) не зависят от выбора точки О, вокруг которой рассматривается вращение тела. (рис. 43)

Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае

Т ак как движение свободного твердого тела в общем случае можно представить как сложное движение, то и скорость, и ускорение какой-либо точки М этого тела можно вычислить соответственно по теоремам сложения скоростей и ускорений (рис. 44). Так, для скорости точки М

Относительное движение можно вычислить по векторной формуле Эйлера:

где - радиус-вектор точки М, проведенный из точки О; - угловая скорость вращения тела вокруг точки О или подвижной мгновенной оси, проходящей через точку О.

Окончательно для скорости точки М получим следующую формулу:

Рис. 44

Ускорение точки М (рис. 45) :

.

или на основании формулы Ривальса

где

Рис. 45

Сложное движение точки в общем случае

1. Абсолютная и относительная производные от вектора. Формула бура

Для любого вектора его производную по времени по отношению к неподвижной системе отсчета называют полной (или абсолютной) производной и обозначают . Производную по времени при учете изменения вектора относительно подвижной системы отсчета называют относительной (или локальной) производной и обозначают или .

Изменение вектора Б относительно неподвижной системы координат О₁x₁y₁z₁ в зависимости от времени состоит из изменения его проекций b_х, b_у, b_z на подвижные оси координат и изменения единичных векторов , , подвижных осей вследствие движе­ния подвижной системы координат относительно неподвижной. Вычислим полную производную.

(*)

Первые три слагаемых учитывают изменение вектора при неизменных , , и поэтому составляют относительную производную, т. е.

Производные по времени единичных векторов определим по формулам Пуассона

, ,

Подставляя эти зна­чения производных единичных векторов в (*) и вынося за скобки, получим

или

(**)

Получена формула зависимости производных векторов в двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Формула (**) называется формулой Бура.

Из формулы Бура следует, что поступательная часть движения вместе с полюсом не влияет на зависимость между производными, а влияет только вращательная часть движения.

Рассмотрим частные случаи.

1. Если вектор не изменяется относительно подвижной системы координат, то его относительная производная и по формуле (**) получаем

2. Если вектор не изменяется относительно основной системы координат, то полная производная и, со­гласно (**), его относительная производная

3. Если , т. е. вектор все время параллелен вектору угловой скорости , то и

В частности, если , то