3.2. Представление чисел в форме с плавающей запятой

В общем виде числа с плавающей запятой имеют следующий вид:

,

где – мантисса числа ;

– порядок числа .

Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и в какую сторону сдвинута запятая при замене формы записи числа с естественной на нормальную. Например, число можно представить, как и как .

В двоичной системе исчисления формат машинного изображения чисел с плавающей запятой включает знаковые поля (мантиссы и порядка), поле мантиссы и поле порядка числа и имеет следующий вид:

Для данного формата разрядной сетки можно записать следующий диапазон представления чисел:

Примеры представление целых и дробных двоичных чисел в форме с плавающей запятой приведены на рисунке 3.

а)

б)

Рисунок 3 – Представление двоичных чисел в форме с плавающей запятой:

а) целая часть; б) дробная часть

Примечание 3. Для упрощения операций над порядками применяют представление чисел с плавающей запятой со смещенным порядком:

,

где – целое положительное число (смещение), .

Обычно , где – число двоичных разрядов в поле цифр несмещенного порядка. В этом случае поле знака порядка избыточно, так как всегда положительно. Такие смещенные порядки называют характеристиками. В зависимости от типа данных числа с плавающей запятой в памяти ЭВМ хранятся в одном из следующих форматов:

При выполнении арифметических операций над числами с плавающей запятой может получаться результат, выходящий за пределы диапазона представления чисел. При этом выход за правую границу диапазона принято называть переполнением порядка (получение очень большого числа), а выход за левую границу – исчезновением порядка (получение очень малого числа).

Наиболее распространено и удобно для представления в ЭВМ ограничение вида <1. Форма представления чисел, для которых справедливо данное ограничение, называется нормализованной.

Если нормализованное двоичное число положительно (в знаковом разряде стоит ), то в старшем цифровом разряде должна стоять . Если же число отрицательно (в знаковом разряде стоит ), то в старшем цифровом разряде дополнительного или обратного кода должен стоять .

Для нормализации числа в этом случае следует повторить цикл сдвига цифровой части влево на один разряд (т. е. умножение на ) с одновременным вычитанием единицы из порядка (что эквивалентно делению на ) до тех пор, пока не начнет выполняться условие нормализации.

Например, отрицательное число

является ненормализованным, так как в разряде знака и в старшем цифровом разряде имеет место сочетание . Для нормализации необходимо сдвинуть мантиссу на разряда влево, а из порядка вычесть число два . В результате получим нормализованное число

Экспериментальная часть

-10,125 0.125*2=0.25 + 0 в остатке

10:2=5 + 0 в остатке 0.25*2=0,5 + 0 в остатке

5:2=2 + 1 в остатке 0,5*2=1,0 +1 в остатке

2:2=1 + 0 в остатке 0*2=0 +0 в остатке

1:2=0 + 1в остатке 0*2=0 +0 в остатке

1010 0*2=0 +0 в остатке

001000

-10.125 в форме с фиксированной точкой -1010,001000

В прямом коде 1 1010,001000

В Обратном коде 1 0101,110011

В Дополнительном коде 1 0101,110100

С Плавающей запятой: 1 10100010 1 100

1.22

1:2=0 остаток 1 0.22*2=0.44 + 0

1 0.44*2=0.88 + 0

0.88*2=1.76 + 1

0.76*2=1.52 + 1

0.52*2=1.04 + 1

0.04*2=0.08 + 0

001110