4.2. Элементы симметрии кристаллических многогранников

Как отмечено выше, в кристаллах встречаются симметрично- равные атомные ряды — ряды атомов с одинаковыми периодами, различающиеся лишь своими направлениями в пространстве. Наличие одинаковых межатомных расстояний в таких атомных рядах позволяет мысленно совместить их один с другим либо путем поворота на соответствующий угол, либо путем отражения в зеркальной плоскости. Геометрические образы, указанных преобразований, приводящих к совмещению равных элементов огранки кристаллов или одинаковых атомных рядов или атомных плоскостей, называются элементами симметрии.

Рассмотрим группу элементов симметрии, которые встречаются при описании симметрии кристаллических многогранников.

Простые оси симметрии. Если поворот фигуры вокруг прямой линии, проходящей череп фигуру, на угол 60, 90, 120 или 180° переводит эту фигуру в новое положение, совершенно эквивалентное исходному (когда каждая грань кристалла заменяет равную ей грань, когда каждое ребро кристалла заменяет равное ребро, когда каждая вершина кристалла заменяет равную ей вершину, при этом конечное положение фигуры неотличимо от ее исходного положения), то это является доказательством наличия в кристалле простой оси симметрии соответственно шестого, четвертого, третьего или второго порядков.

Порядок оси симметрии определяется по количеству совмещений фигуры со своим исходным положением за один полный поворот вокруг оси симметрии. Минимальный угол поворота фигуры вокруг оси симметрии, при котором фигура совмещается со своим исходным положением, носит название элементарного угла а. Он связан с порядком оси симметрии n соотношением:

n =360°: а

Разумеется, что в понятие фигуры могут входить не только кристаллические многогранники, ограненные вышеупомянутыми гранями, ребрами, вершинами, но и любая кристаллическая структура с ее атомными рядами и атомными плоскостями. Так, на рис. 4.1 приведен пример плоской атомной сетки, которая содержит простые оси симметрии второго порядка, располагающиеся перпендикулярно этой сетке. Поворот элементарного параллелограмма на 180° вокруг любой из показанных на рисунке осей второго порядка приводит этот параллелограмм к совмещению с исходным положением, либо меняет его местами с другим таким же равным ему параллелограммом. Очевидно, что каждый такой поворот будет приводить к совмещению с исходным положением не только один отдельно взятый элементарный параллелограмм, но вся атомная плоскость при таком повороте займет новое положение, совершенно эквивалентное ее исходному положению, каждый атомный ряд либо совместится со своим исходным положением (поменяв при повороте местами свои концы), либо поменяется местами с равным ему эквивалентным атомным рядом. Наконец, при таком повороте каждый атом займет на плоскости место идентичного атома (либо просто повернется на месте, если он лежит на самой оси симметрии).

Рис. 4.1. Атомная плоскость с простыми осями симметрии второго порядка

Рис. 4.2. Атомная плоскость с простыми осями симметрии третьего порядка

Рис.4.3.Атомная плоскость с простыми осями симметрии четвертого порядка

Рис.4.4. Атомная плоскость с простыми осями симметрии шестого порядка

Примеры плоских атомных сеток с другими простыми поворотными осями симметрии приведены на рис, 4.2, где оси симметрии третьего порядка проходят перпендикулярно плоскости чертежа через вершины треугольников и их центры, на рис.4.3, где оси симметрии четвертого порядка проходят перпендикулярно атомной плоскости через вершины и центры квадратов, и на рис. 4.4, где оси симметрии шестого порядка проходят через центр каждого правильного шестиугольника — гексагона.

Важной отличительной особенностью всех рассмотренных плоских атомных сеток является то. что они оказываются целиком заполненными одинаковыми правильными фигурами либо параллелограммами, либо правильными равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо гексагонами, которые без просветов покрывают всю атомную плоскость. Очень важно отметить, что никакие другие одинаковые правильные многоугольники не могут заполнить плоскость без просветов: ни пятиугольники, ни семиугольники, ни восьмиугольники и т. д. Такое сопоставление доказывает, что в кристаллах могут присутствовать оси симметрии только указанных порядков: второго, третьего, четвертого и шестого.

В проведенном анализе мы не упоминали оси симметрии первого порядка, поскольку этот элемент симметрии имеет тривиальный смысл: любая фигура содержит бесчисленное множество таких осей.

Таблица 4.1

Простые оси симметрии в кристаллах

Порядок оси симметрии	Элементарный угол, град	Обозначение простых осей симметрии
		Символические		Графические
		Международный символ	Учебный символ	Вертикальная ось	Горизонтальная ось
1 2 3 4 6	360 180 120 90 60	1 2 3 4 6	L1 L2 L3 L4 L6

Перечень простых осей симметрии в кристаллах и их обозначения приведены в табл. 4.1. Следует отметить, что приведенные в табл. 4.1 графические обозначения вертикальных осей симметрии второго и других порядков применяют также для наклонных осей симметрии указанных порядков.

Наличие осей симметрии в кристалле является важным доказательством равенства его свойств по некоторым направлениям.

Зеркальные плоскости симметрии. Если фигуру можно разделить плоскостью на две зеркально-равные части, связанные между собой как предмет и его зеркальное изображение, то эта плоскость является зеркальной плоскостью симметрии (или просто плоскостью симметрии). На рис. 4.5 показана горизонтальная плоскость симметрии в гексагональной кристаллической структуре. В этой же кристаллической структуре можно отметить три, проходящие через центры структурных треугольников и их вершины, вертикальные плоскости симметрии.

Рис.4.5. Пример зеркальной плоскости симметрии в гексагональной кристаллической структуре

Плоскость симметрии обозначают либо международным символом, либо учебным символом. Например, наличие девяти различным образом ориентированных плоскостей симметрии в кубе записывают с помощью последнего символа весьма лаконично: 9Р

Центр симметрии. Если в фигуре можно выбрать особую точку, которая будет делить пополам любую заключенную внутри этой фигуры прямую, то такую точку называют центром симметрии. Так, точка С пересечения объемных диагоналей параллелепипеда (рис. 4.6) является центром симметрии. Этот центр симметрии связывает равные элементы параллелепипеда: вершину 1 с вершиной 2, вершину 5 с вершиной 6, ребро 6 с равным ему ребром 2—5, переднюю грань с равной ей задней гранью параллелепипеда и т. д.

Рис. 4. 6. Центр симметрии С в элементарном параллелепипеде

Центр симметрии обозначают либо международным символом (читается: «один с чертой»; либо учебным символом С, причем, последнее обозначение совпадает с графическим обозначением центра симметрии на стереографических проекциях элементов симметрии (в центре круга проекции).

Инверсионные оси симметрии. Несмотря на существенные различия все описанные элементы симметрии характеризуются одним общим свойством: каждый из них позволяет доказать равенство тех или иных элементов фигуры с помощью однократного симметрического преобразования. Так, при наличии плоскости симметрии достаточно только отражения в плоскости симметрии, чтобы доказать равенство определенных элементов фигуры. Таким же образом при наличии простой оси симметрии для такого доказательства достаточно только поворота фигуры на элементарный угол. При наличии центра симметрии доказательство равенства определенных элементов фигуры производится с помощью только отражения фигуры в точке, т. е. в центре симметрии.

Инверсионная ось симметрии, показана на рис 4.7. Ребро нижнего основания фигуры 3—1 (рис. 4.7) после поворота на 120° переходит в положение 1—5, а затем после отражения в центре инверсии занимает положение равного ему ребра верхнего основания 4—2.

Инверсионную ось симметрии третьего порядка можно заменить двумя простыми элементами симметрии: простой осью симметрии третьего порядка и центром симметрии, что символически запишем в следующем виде: L_3i= L₃С

Рис.4.7. Инверсионная ось симметрии третьего порядка L3i в тригональной кристаллической структуре

Инверсионные оси симметрии первого и второго порядка не представляют самостоятельного интереса, поскольку дублируют простые элементы симметрии. Инверсионная ось симметрии первого порядка, содержащая формально поворот на 360° и отражение в центральной точке, является центром симметрии. На основании их тождества возникло международное обозначение

Таблица 4.2

Инверсионные оси симметрии

Порядок оси симметрии	Элементарный угол, град	Эквивалентные простые элементы симметрии	Обозначение простых осей симметрии
			Символические		Графические
			Международный символ	Учебный символ	Вертикальная ось	Горизонтальная ось
1 2 3 4 6	360 180 120 90 60	С Р L3+С Не имеет L3+Р	1 (2) 3 4 6	(L1) L2 L3 L4 L6	- -	- - - -

центра симметрии . Инверсионная ось симметрии второго в этом нетрудно убедиться, эквивалентна зеркальной плоскости симметрии, поэтому ее не используют для описания кристаллов.

Таким образом, для описания кристаллов применяют три инверсионные оси симметрии: третьего, четвертого и шестого порядков.

Для обозначения симметрических преобразований и соответствующих элементов симметрии в кристаллографии пользуются условными символами, в которых наиболее распространены две системы обозначений (таблицы 4.2, 4.3).

Таблица 4.3.