Контрольные вопросы

1. Дайте понятие “ряда” в кристаллической решетке.

2. Объясните, какую величину принимают за параметр ряда (или элементарную трансляцию).

3. Объясните, что такое элементарная ячейка.

4. Объясните, что называют “метрикой” кристаллической решетки.

5. Объясните, почему по “метрике” можно идентифицировать вещество.

6. Зарисуйте элементарный параллелепипед и укажите стандартные обозначения осей координат, элементарных углов и элементарных трансляций.

7. Дайте определение символа узла.

8. Дайте определение символа плоскости, индекса плоскости.

9. Объясните, что такое структурно-эквивалентные плоскости, как записать их символы в кубической ячейке.

10.Поясните, какие плоскости входят в семейство структурно-эквивалентных плоскостей (как различаются их индексы) в кубической ячейке.

11. Дайте определение символа направления, его записи.

Лекция 3. Кристаллографическая символика.

Связь между символами плоскостей и направлений

План лекции

1. Связь между символами плоскостей и направлений в кристаллах кубической сингонии.

2. Кристаллографическая символика в гексагональной сингонии.

3.1. Определение символа атомной плоскости

по символам атомных рядов

Пусть атомная плоскость задана с помощью двух принадлежа­щих ей непараллельных друг другу атомных рядов, которые описываются соответствующими символами [u₁v₁w₁] и [u₂v₂w₂]. Подобное определение плоскости эквивалентно заданию плос­кости с помощью трех точек с координатами: [[u₁v₁w₁]], [[u₂v₂w₂]] и [[0; 0; 0]], поскольку две первые точки соответствуют координатам радиусов-векторов и , исходящими из третьей точки - начала координат [[0; 0; 0]].

Запишем уравнение плоскости (hkl) проходящей через на­чало координат: hx+ky+lz=0 и определим искомые индексы плоскости из условий принад­лежности точек [[u₁v₁w₁]] и [[u₂v₂w₂]] этой плоскости:

hu₁+kv₁+lw₁=0; hu₂+kv₂+lw₂=0;

После умножения первого уравнения на w₂, и второго уравне­ния на (-w₁)и их сложения получим отношение индексов h и k, которое выражено через индексы двух заданных направле­ний:

h:k=(v₁ w₂ – v₂ w₁):(w₁ u₂ – w₂ u₁)

Аналогичным образом можем получить отношение для индек­сов k и l:

k:l=(w₁ u₂ – w₂ u₁):(u₁ v₂ – u₂ v₁)

Объединяя оба отношения, получим решение поставленной за­дачи в общем виде:

h:k:l=+-(v₁w₂ – v₂w₁):(w₁u₂ – w₂u₁) :(u₁v₂ – u₂v₁) (3.1)

Для удобства вычисления индексов плоскости по заданным индексам принадлежащих этой плоскости направлений исполь­зуют мнемоническое правило «перекрестного умножения». Для этого каждый из символов направлений записывают по два раза подряд - в строчку так, чтобы в одной строке были ин­дексы одного направления и чтобы одноименные индексы при такой записи оказались в одинаковых столбцах:

Затем, отбрасывая крайние столбцы и выполняя перемно­жение в соответствии со стрелками, т. е. крест-накрест, полу­чают результат, отвечающий формуле (3.1):

h:k:l=(v₁ w₂ – v₂ w₁):(w₁ u₂ – w₂ u₁) :(u₁ v₂ – u₂ v₁)

Пользуясь правилом перекрестного умножения, найдем сим­вол атомной плоскости АВС, проходящей через три вершины куба (рис. 3.1), по заданным символам диагоналей его граней ВС и АВ :

Таким образом, искомый символ плоскости АВС мы опреде­лили с точностью до знака: ±(111), поскольку выбранный по­рядок перемножения символов может быть произвольным.

Отметим важный результат, который можно получить, под­ставляя отношение (3.1) в выра­жение для нормали к плоскости.

При равенстве осевых единиц и взаимной перпендикулярности базисных векторов (т.е. для ку­бических кристаллов, для описа­ния которых применяется при­вычная декартова система координат) выражение для нормали принимает следующий вид:

Тогда в соответствии с отношением u:v:w=m:n:p, символ, определяющий направление нормали , принимает вид [hkl], поскольку числа h, k, l являются координатами вектора нормали. Таким обра­зом, в данном случае (и только в данном случае) численные значения индексов плоскости (hkl) и направления ее нормали [uvw] совпадают: h=u, k=v, l=w.

Н апример, нормаль к плоскости кубического кристалла описывается с помощью таких же индексов -

Рис. 3.1. Определение символа атомной плоскости АВС в кубе.