3.2. Определение символа атомной плоскости по координатам трёх узлов пространственной решётки

Положение атомной плоскости в кристалле наряду с описан­ными методами может быть также определено с помощью сов­мещенных с этой плоскостью трех узлов пространственной ре­шетки.

Пусть заданы координаты трех узлов пространственной ре­шетки.

М₁[[m₁; n₁; p₁]], М₂[[m₂; n₂; p₂]], М₃[[m₃; n₃; p₃]],

Тогда отношение индексов атомной плоскости можно опреде­лить с помощью трех детерминантов:

(3.2)

С помощью формулы (3) определим символ плоскости, заданной тремя точками М₁[[1; 1/2; 1]], М₂[[1/2; 1; 1]], М₃[[1; 1; 1/2]]:

В результате получим символ плоскости (111).

В заключение отметим, что индексы плоскости h, k, l в боль­шинстве случаев выражаются небольшими (однозначными) числами, что непосредственно связано с законом Бравэ. Действительно, наиболее плотноупакованным граням кристалла соответствуют сравнительно высокая ретикулярная плотность, высокая вероятность образования грани на растущем кристалле и небольшие численные значения индексов. Так, с уменьшением ретикулярной плотности r атомных плоскостей увеличиваются значения индексов (рис. 3.2).

3.3. Определение символов граней и направлений по методу

косинусов в кубической решетке

Положение любой грани кристалла (h k l) ( или плоскости в решетке) определяется углами, которые составляют нормаль к этой грани с осями координат. Плоскость АВС отсекает на осях координат отрезки ОА, ОВ, ОС (рис.3.3)

Из начала координат опущен перпендикуляр на плоскость АВС. Нормаль ОР образует с осями координат углы

Из чертежа вытекает, что ; ; .

Если ОА=m, ОВ=n, OC=p, то .

С другой стороны

В результате, для кубических кристаллов , то есть составив отношение направляющих косинусов легко получить символ грани.

Символ направлений связан с направляющими косинусами соотношением , в котором углы между соответствующими кристаллографическими осями и направлением.

Рис. 3.3. К выводу соотношения между индексами и направляющими косинусами грани.

3.4. Кристаллографическая символика в гексагональной сингонии

В гексагональной решетке начало координат помещают в центр основания элементарной ячейки (рис. 3.4). Кристаллографические оси х и у проходят из этого центра через вершины шестиугольного основания элементарной ячейки, располагаясь под углом 120° одна к другой, а ось z является вертикальной осью гексагональной призмы. За единицу измерения вдоль осей х и у принимают период решетки а, а вдоль оси z— период с.

В гексагональной решетке, как и в кубической, индексами Миллера плоскости являются приведенные к наименьшим целым числам величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостью на трех кристаллографических осях. Например, плоскость базиса элементарной ячейки, параллельная осям х и у и отсекающая на оси z отрезок в один период решетки, имеет индексы , т.е. (001). Передняя вертикальная грань призмы, отсекающая на оси х отрезок в один период решетки и параллельная осям у и z, имеет индексы , т.е. (100). Заштри­хованная боковая грань призмы, отсекающая на осях х и у отрезки в один период решетки и параллельная оси z, имеет индексы , т.е. .

Рассмотренные плоскости призмы и структурно эквивалентны, но они не имеют подобных индексов Миллера. Это неудобно, так как по сочетанию трех индексов нельзя сразу ска­зать, являются ли непараллельные плоскости (а также направ­ления) структурно эквивалентными. Поэтому чаще пользуются четырехиндексовой системой Миллера—Браве.

В плоскости базиса проводят дополнительную ось и, располо­женную под углом 120° к осям х и у. Направление - и находится между направлениями + х и + у. Дополнительный индекс i опре­деляют точно так же, как и индексы Миллера, и ставят на тре­тьем месте (hkil).

Положение плоскости в пространстве полностью задается тремя индексами. Поэтому новый индекс является зависимым а именно он равен сумме первых двух с обратным знаком: i= - (h+k). Для проверки правильности написания индексе плоскости индекс i можно не вычислять, а определять одновременно с другими индексами по величине, обратной отрезку, отсекаемому на оси и. Например, передняя вертикальная грань призмы имеет индексы Миллера—Бравэ , т.е. , а боковая заштрихованная грань—индексы , т.е. . При четырехиндексовой системе индексы по-разному ориентированных структурно эквивалентных плоскостей получают перестановкой и переменой знака первых трех индексов. Всю совокупность таких плоскостей обозначают заключенными в фигурные скобки индексами любой из плоскостей. Например, структурно эквивалентные плоскости призмы 1-го рода имеют индексы , а плоскости призмы 2-го рода—индексы [плоскость с индексами на рис. 10 проходит через штрихпунктирные резки]. Плоскости пирамиды 1-го рода имеют индексы , а 2-го рода .

Для определения индексов направлений в гексагональной решетке также чаще используют четырехиндексовую систему. Для этого направление переносят параллельно самому себе в начало координат и из любой его точки опускают перпендикуляры на четыре кристаллографические оси. Например, координатами точки q на (рис. 3.4) по осям х, у, и и z являются отрезки— и 0 (ось z перпендикулярна плоскости чертежа). Соответственно направление +у имеет индексы . Шесть структурно эквивалентных направлений +х, —х, +у, —у, +и, —и, имеют индексы или и т.д.

Т

z

очка r имеет координаты , 0, и 0. Направление проходящее через эту точку и начало координат, имеет индексы . Соответствующие структурно эквивалентные направления можно обозначить индексами или и т.д.

х

Рис.3.4. Пример кристаллографических плоскостей в гексагональной решетке