5.5. Стереографическая проекция

За плоскость стереографической проекции Q выбираем экваториальную плоскость, на которую сфера проектируется в виде круга проекции. В одном из полюсов этого круга помещается точка зрения («глазная точка») S.

Чтобы спроектировать прямую ОА, проводим линию АS от полюсной точки А этого направления на сфере проекций до точки зрения S. Точка «а» пересечения линии АS с кругом проекций и есть стереографическая проекция направления ОА (рис.5.17).

Чтобы не загружать чертеж, обычно проектируются только пересечения линий с верхним полушарием сферы.

Стереографические проекции направления изображаются точками внутри круга проекций, причем вертикальное направление проектируется как точка в центре круга проекций, горизонтальное – как два выхода на окружность экватора.

Для нахождения стереографической проекции плоскости R необходимо перенести плоскость параллельно самой себе в центр проекций, затем продлить плоскость до пересечения её со сферой. В результате пересечения на сфере получается дуга большого круга a,в,d. После соединения всех точек этой окружности с точкой зрения S, образуется проецирующий конус из лучей зрения Sа, Sв, Sd. Результат пересечения проектирующего конуса с плоскостью проекций Q соответствует стереографической проекции заданной плоскости (рис. 5.18).

Стереографические проекции горизонтальных плоскостей совпадают с окружностями круга проекций, проекции вертикальных плоскостей – с диаметром круга проекций, а проекции наклонных плоскостей изображают дугами, опирающимися на концы диаметра (рис.5.19).

Стереографические проекции применяются главным образом для изображения комплекса элементов симметрии кристалла.

Стереографические проекции характеризуются двумя наиболее важными свойствами:

- любая окружность, проведенная на сфере, изображается на стереографической проекции также окружностью (в частном случае прямой линией);

- на стереографической проекции не искажаются угловые соотношения. Угол между полюсами граней на сфере (измеренный по дугам больших кругов) равен углу между стереографическими проекциями тех же дуг.

Рис.5.17 Принцип построения стереографической проекции

Рис. 5.18 Построение стереографической проекции a, b, d плоскости R

Рис.5.19 Стереографические проекции плоскостей, ориентированных: а – перпендикулярно плоскости проекции; б – в плоскости проекции; в – под косым углом к плоскости проекции.

В случае стереографической проекции оси симметрии проектируются подобно нормалям к граням. Вертикальные оси изображаются в центре круга проекций, а оси, наклонные к плоскости проекций, проектируются внутри круга проекций.

Рис.5.20 Стереографические проекции некоторых осей симметрии куба.

При проектировании плоскостей симметрии куба соблюдают следующие условия:

Вертикальная ось симметрии проектируется в виде прямой (двойной) линии, являющейся одним из диаметров круга проекций; горизонтальная плоскость, совпадает с плоскостью чертежа, представляется кругом проекций; проекция наклонной плоскости является дугой (рис. 5.21).

б

в

а

Рис.5.21. Некоторые плоскости симметрии куба и их стереографические проекции. а – плоскость симметрии расположена под углом к плоскости проекции; б- горизонтальная плоскость симметрии; в – вертикальная плоскость симметрии.