Лекции по физике / Лекция №5
.docПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ. МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.
В классической механике справедлив механический принцип относительности, или принцип относительности Галилея: основы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
Для доказательства рассмотрим две системы отсчета – инерциальную систему K с координатами (x; y; z), которую будем условно считать неподвижной, и систему K с координатами (x; y; z), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно со скоростью u = const.
Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают.
Пусть в произвольный момент времени расположение систем имеет вид (см. рисунок). Скорость u направлена вдоль OO, тогда
Найдем связь между координатами произвольной точки A в обеих системах. Т.к.
запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат.
x = x + uxt, y = y + uyt, z = z + uzt (2)
Уравнения (1) и (2) называются преобразованиями Галилея. В частном случае система K движется со скоростью v вдоль положительного направления оси x системы K. Если в начальный момент времени оси координат совпадают, то преобразования Галилея имеют вид:
x = x + vt, y = y, z = z.
В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения системы отсчета, т.е. к преобразованиям (2) можно добавить
t = t (3)
Продифференцировав выражение (1) по времени с учетом выражения (3), получим:
v = v + u (4),
которое представляет собой правило сложения скоростей классической механики.
Ускорение точки A в системах отсчета K и K, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково
a = a (5)
Следовательно, если на точку A другие тела не действуют, т.е. ускорение равно нулю, то согласно выражению (5) a = 0, т.е. система K является инерциальной. Таким образом, из соотношения (5) вытекает подтверждение механического принципа относительности: уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяется, т.е. является инвариантным по отношению к преобразованиям координат.
Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно, т.е. не привязав себя к другой инерциальной системе отсчета.
Записанные соотношения справедливы в случае классической механики, т.е. u, v << c.
Для скоростей, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца.
НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА.
Как мы уже говорили, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальных систем отсчета с ускорением, называются неинерциальными.
В неинерциальных системах отсчета, строго говоря, законы Ньютона не выполняются, однако, законы динамики можно применять для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода, называемые силами инерции. Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил действующих на данное тело, включая и силы инерции. Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение a, каким оно обладает в инерциальных системах отсчета.
где a – ускорение тела инерциальной системы отсчета.
Рассмотрим следующие случаи:
I. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета.
Пусть на тележке к штативу подвешен шарик массой m. Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить занимает вертикальное положение и сила тяжести уравновешена силой натяжения нити. Если тележке придать ускорение a0, то нить начнет отклоняться от вертикального положения на угол пока результирующая сила
не обеспечит ускорение шарика равное a0. Таким образом,
т.е. угол отклонения тем больше, чем больше ускорение тележки. Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешена силой инерции, т.е.
Примеры рассмотреть самостоятельно.
II. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращательной системе отсчета.
Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр. Пусть на диске на разных расстояниях друг от друга установлены маятники.
В инерциальной системе отсчета, связанной с комнатой, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R относительно оси проходящей через центр диска. Следовательно, на него действует сила
F = m2R.
Она является равнодействующей силе тяжести и силе напряжения нити.
Когда движение шарика установится
т.е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше радиус R и угловая скорость . Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится, т.к. сила F уравновешивается противоположно направленной центробежной силой инерции, которая направлена от оси вращения диска и равна
Fц = –m2R (8)
Примеры рассмотреть самостоятельно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Центробежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения системы отсчета и радиуса R, но не зависит от скорости тел относительно вращающейся системы отсчета.
III. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращательной системе отсчета.
Пусть шарик массой m движется с постоянной скоростью v вдоль радиуса равномерно вращающегося диска, при этом v.
Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, попадает в точку A. Если диск привести во вращение в направлении указанном стрелкой, то шарик будет катиться по кривой OB. Его скорость v относительно диска меняет свое направление под действием некоторой силы, перпендикулярной скорости. Чтобы заставить шарик катиться по радиусу используем жестко укрепленный стержень, на котором шарик движется равномерно и прямолинейно со скоростью v. При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относительно диска шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравновешивается силой Fк, силой инерции, перпендикулярной скорости, которая называется Кориолисовой силой.
Сила Кориолиса действует на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета.
Примеры рассмотреть самостоятельно.
Раскрываем в уравнении (6) силу инерции, получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:
Отметим, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. Для любого из тел, находящегося в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними, следовательно, в этом случае нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах таких сил не существует.