Шпаргалка по физике (3 семестр) / 1

Колебания решетки. Хаотическое тепловое движение атомов кристалла делает что во все стороны идут упругие волны. Физика твердого тела хочет найти спектр таких вот упругих волн. Рассмотрим одномерный кристалл из цепочки одинаковых атомов. Здесь М – масса одного атома в цепочке. а – расстояние между атомами. Найдём колебательный спектр этого кристалла. Пусть каждый атом имеет взаимодействие только с двумя т.е. самыми ближними атомами - соседями. Мы выделим атом с номером n. Обзовем x_n, x_n+1, x_n-1 – смещения из положения равновесия атомов под номером (n), (n+1) и (n-1). Атом n движется и сила со стороны n+1 атома на атом n (f₁) равна: f₁=c(x_n+1- x_n); а сила со стороны n-1 атома на атом n (f₂) равна: f₂=c(x_n- x_n-1) ( где с-упругая постоянная)Значит на атом n будет сила f= -(f₂-f₁)=c(x_n+1+x_n-2x_n). Тогда по 2-му закону Ньютона: F=ma  M*(d²x_n/dt²)=с(x_n+1+x_n-2x_n)(*). Отсюда x_n=A*exp[i(ωt-ky_n)], (где A -амплитуда волны; ω - циклическая частота; i =; t-время k- волновое число, k=(2π)/λ; y_n – координата атома с номером n, y_n=an). Запишем по аналогии для x_n+1 и x_n-1 и их подставим в выражение (*), получим, что они нормально подходят для уравнения (*), если ω=[(4с/M)]*|sin(ka/2)| (**)  определяет те частоты с которыми могут колебаться атомы цепочки. У нас 0<|sin(ka/2)|<1  0<ω<ω_max, где ω_max=(4c/M) (где М-масса) Если нарисовать зависимости частоты ω от волнового числа k: Т.е. когда k=π/a  ka/2=π/2=90°,а sin90°=1, т.е. max. Найдём скорость упругих волн в цепочке атомов: =λ/T=λω/2π, (где T–период, T=2π/ω; λ- длинна волны). Подставим сюда(**) причем учтем в выражении под sin, что k=2π/λ тогда ka/2=πa/λ  =λω/2π=(λ/2π)*[(4с/M)]*|sin(πa/λ)|  дисперсия волн, т.е зависимость  от λ. Когда ω=ω_max, ka/2=π/2. 2πа/λ=π, λ_min=2a. Значит λ_max=∞  2a λ<∞. Если мы устремим λ∞, т.е. λ>>πa, значит у синуса πa/λ<<1  sin(πa/λ)πa/λ. Получим υλ/2π*[(4с/M)]*πa/λ=a*(C/M) можно принять что это число равно скорости звука(υ=υ_зв). Теперь можно оценить ω_max=2(C/M)=2υ_зв/a)=2*3*10³/3*10^-10=2*10¹³ с^-1. Пусть в цепочке разные атомы. У нас в цепочке 2 разных вида атомов. М – масса одного атома, m – масса другого. Зависимость ω от волнового числа k имеет 2 вида: где ветвь 1 – акустическая, а 2– оптическая ветвь колебательного спектра. 1)Центр тяжести смещается (атомы сдвигаются в одну сторону, потом дружно в другую).Световая волна ИК спектра может возбудить колебания 2. 2)Тут центр тяжести у двух ближних атомов не движется. Такое бывает если атом из двух видов и если трёхмерная решётка с одинаковыми атомами.

Ангармонические колебания. Если имеется в виду гармонический осциллятор, то сила f=-kx. Для потенциальной энергии гармонического осциллятора f=-dU/dx  U=-∫fdx=k∫xdx=kx². В реальных кристаллах такого нет, т.е. можно брать это приближённо при малых колебаниях. Реально действует сила f=-kx+hx²-gx³…(где k, h, g и т.д. – коэффициенты ангармоничности; x- смещение из положения равновесия) Проинтегрировав получим потенциальную энергию как: U=kx²-hx³+gx⁴- … Ангармоничность ответственна за тепловое сопротивление кристаллов. Если U=kx²/2, то теплопроводность равна ∞. Ангармоничность делает так, что колебания рассеиваются при столкновении, что и создаёт тепловое сопротивление. Если гармонический осциллятор, то колебания независимы и упругие волны не рассеиваются друг на друге.

Фононы. Можно представить как поток корпускул каждый фотон. Можно аналогично отквантовать и упругую волну, т.е. она у нас будет как поток квазичастиц фононов. Фонону дают энергию _ф=ħω (где ; ħ- постоянная Планка, которая без 2,т.е. ħ =h/2; ω-частота) и квазиимпульс k_ф=2/ (где –длина волны упругих смещений) Энергия упругой волны будет суммой _ф: _i(_ф)=_i(ħω) Энергия гармонического осциллятора: ε_n=(n+)*ħω.(где n-целое число) Фононы не подчиняются статистике Ферми и не являются фермионами, фононы – бозоны, они подчиняются статистике Бозе-Эйнтштейна, т.е. в одном и том же состоянии может быть сколько угодно фононов. Причём: n_i=1/[exp(ħω_i/kT)-1] (где n_i- среднее число фононов с частотой ω_i; Т-температура; k-постоянная Больцмана). Если температура велика kT >> ħω_i; т.е. exp(ħω_i/kT)≈1+ħω_i/kT. Значит : n_i=(kT)/(ħω_i). Т.о. среднее число растет с температурой. Фононы при сталкновениях обмениваются квазиимпульсом и т.е. тепловое сопротивление, это сопротивление растёт с температурой.