Вопрос 23: Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Гармонические колебания графически изображаются посредством вращающего вектора амплитуды и этот метод называется методом векторной диаграммы. Плоскость в которой вращается вектор называется фазовой плоскостью.

Рассмотрим 2 колебания.

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система участвует в нескольких колебательных процессах. Различают 2 предельных случая: сложение колебаний одинакового направления и взаимно-перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим когерентное колебание:

2 колебательных процесса называются когерентными, если они согласовано протекают во времени так, что разность их

фаз постоянная.

чтобы разность была const

Когерентные колебания монохроматические.

На фазовой плоскости можно выделить проекции векторов x₂,x₁,x.

Основываясь на правиле параллелограмма;

Вопрос 24: Сложение взаимно- перпендикулярных колебаний, фигуры Лиссажу.

Пусть математическая точка совершает колебания вдоль оси x и оси y, эти колебания одновременны, поэтому математическая точка будет двигаться по криволинейной траектории форма, которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

подставим во второе

Ур-ние при этом представив cos по формуле

:

При сложении этих колебаний получаем ур-ние: - это Ур-ние

эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей x и y.

Когерентное поляризованное движение.

Рассмотрим частный случай:

1.1)разность фаз ;

2)результирующее движение- гармоническое колебание вдоль прямой с частотой и амплитудой

2.1)разность фаз

2)результирующее движение- гармоническое колебание вдоль прямой

3.приa=b- эллипс- окружность.

С течением времени амплитуда уменьшается.

Основные характеристики затухающих колебаний: - коэффициент затухания, он определяет скорость затухания колебаний:

Т- период затухания колебаний.

Затухания нарушают периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и строго говоря к ним не применимы понятия периода и частоты, однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода, как промежутка времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющихся физических величин. В этом случае период - частота затухающих колебаний;А-амплитуда затухающих колебаний:;- время релаксации;Это промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается вe раз

- логарифмический декремент затухания. Это безразмерная величина, равная натуральному логарифмическому отношению значений амплитуды в момент времени t и t+T. (по графику это отношение);

N- число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в «е» (экспонент) раз. - логарифмический декремент – это физическая постоянная величина для данной колеблющейся системы.

Связь между - циклической частотой и логарифмическим декрементом:Q- добротность колебательной системы. Это безразмерная величина, равная произведению на отношение энергии, запасенной в системе в момент времениt, к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то

так как Q безразмерная величина.

При малых значениях знаменатель можно приближенно записать в форме:;

При этом условии Например, добротность пружинного маятника системы:будет равна. При увеличении коэффициента затухания период затухания колебаний возрастает, и обращается в бесконечность: 1) при, т.е. движение перестает быть периодичным; 2)прикорни характеристического уравнения становятся вещественными и решение дифференциального ур-ния представляется в виде:где С₁ и С₂ – вещественные постоянные, зависящие от Х₀ (начальной координаты) и v следовательно в этом случае движение носит апериодический (непериодический) характер, т.е. выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия не совершая колебаний

На этом графике показаны 2 воозможных случая возвращения системы в положение равновесия при непериодическом движении.