Ответы на вопросы к экзамену / Теория Физика

Движение электронов и дырок в кристаллах. Для частицы в вакууме волновая функция

- r- радиус – вектор частицы, k – волновой вектор, ω – циклическая частота. t – время. ћ – постоянная Планка. Рассмотрим движение электрона в кристалле. В отличие от свободной частицы, в кристалле электрон движется в поле атома, поэтому скорость электрона периодически изменяется. Ускорение остаётся не изменным если отсутствуют внешние силы. Найдём ускорение (а) под влиянием постоянной силы (F). Будем рассматривать электроны как волновой пакет, т.е. будем считать волновую функцию электронов локализированной в некоторой области пространства.

Скорость движения волнового пакета называют групповой скоростью:

υ_гр= dω/dk, т.к. ω=E/ ћ (где Е – энергия), то

υ_гр = (1\ћ)·(E/dk); k – волновое число, k = 2π/λ – длинна волны Де Бройля. Направим x по движению электронов.

υ_x=1/ ћ*dE/dk (1). По определению ускорение тогда

a_x=dυ_x/dt=(1/ћ)·d(dE/dt)/dk. На электрон действует постоянная сила, следовательно

dE=Fdx=δA. (фактически работа силы F по перемещению электрона на расстояние dx).

Тогда dE/dt=Fdx/dt=Fυ_x;

a_x=(1/ ћ)·d(dE/dt)/dk=(1/ћ)·d(F·υ_x)/dk=(F/ћ)·dυ_x/dk 

a_x=(F/ћ)·(1/ћ)·d²E/dk²; запишим так: a_x=F/m^*, где m^* обозначает

m^*= ћ²/(d²E/dk²).Полученный результат соответствует тому, что в кристалле электрон под действием F=const движется как классическая частица у которой масса определяется по m^*.(эффективная масса электрона). Те же вычисления получаются при движении дырки, только m^* - будет эффективная масса дырки, а d²E/dk² – это изменение энергии дырки. Если взять свободную частицу у которой энергия E=p²/2m= ћ²k²/2m, d²E/dK²= ћ²/2m тогда эффективная масса

m^*= ћ²/( ћ²/m)=m, т.е. равна массе

Механизм электропроводности полупроводников.

Свободные электроны в полупроводнике движутся абы как, иногда сталкиваясь с узлами решетки. За время свободного пробега t электрон пролетает путь λ = υ * τ (это путь между двумя столкновениями). Под действием силы, равной F = e * E (где е – заряд электрона, E – напряженность электрического поля) идет упорядоченное движение электронов под действием электрического поля.Скорость дрейфа e против поля v_d:В любом электрическом поле: а) v_d << v

В сильном электрическом поле: б) v_d ~ v Рассмотрим случай а):Найдем плотность тока электронов j: j = ρ * v, где ρ – плотность заряда, v – скорость движения. У полупроводников: ρ = е * n, где e – заряд электрона, n – концентрация е. Значит j = env_d .

У электрона есть ускорение a = F/m = eE/m, за время свободного пробега v_max = aτ = eEτ/m.

Скорость линейно растет, тогда по среднему она равна: v_d = ½ v_max . v_d = eEτ / (2m). Вернемся к j: j = env_d = e²nτE/(2m). Т. к. электрон движется вдоль силовых линий электрического поля, то j = σ E (Закон Ома в дифференциальной форме), где σ = e²nτ/(2m). σ = 1/ρ (ρ – удельное сопротивление, σ – электропроводность). Подвижность электронов называют физическую величину, численно равную скорости, которую электрон приобретает под действием лектрического поля единичной напряжённости.

U = v_d / E, где E – напряженность электрического поля, v_d – средняя скорость дрейфа.

Электропроводность собственного полупроводника:

σ = enu_- + epu₊ (где n и p – концентрация электронов и дырок соответственно, а u₊ и u_- - подвижность электронов и дырок).

Отметим, что размерность подвижности: [U] = [м²/с·В] В металлах u_- ~ 10² [см²/с·В], в полупроводниках u_- = 10⁶ [м²/с·В] Посмотрим зависимость полупроводниковой и металлической подвижности от температуры: U = eτ/(2m*) = e /2m*=λ/υ.

Найдем зависимость λ(Т). λ определяет столкновения с узлами кристаллической решетки

Эффект рассеивания происходит в том случае если электрон попадает в окружность радиусом А, вероятность рассеивания пропорциональна A²~E_кин~T

E_кин=kT/2 Получается что λ = 1 / TУ металла скорость не зависит от температуры, мы видим убывание подвижности с ростом температуры

U~λ/υ~1/T. У полупроводников скорость зависит от температуры mv²/2 = 3/2 kT

U ~ T^1/2. Мы видим, подвижность изменяется по U ~ 1/(T^3/2).Рассмотрим случай б): v_d ~ v. Здесь уже зависимость σ (E). Возьмем полупроводниковыую пластинку. d – толщина пластинки.

Меряют:

σ = I_прод / U₀. U₀ = const. Этот способ свидетельствует, что σ растет не из-за роста подвижности, а из-за роста концентрации носителей тока. σ(E): E = U / d; Получают вот что:

В области слабых полей – не зависит. В сильных – быстро растет. σ = enU; Рост величины концентрации носителей тока. При росте этого растет σ.

Величина n растет из-за туннельного эффекта:

E = - ( dφ/dx ) => φ = - Ex. Изменение потенциальной энергии Δε = qφ, тогда возможен переход из валентной зоны в зону проводимости. Рассмотрим зависимость энергии E от расстояния до ядра r.

При добавлении электрического поля яма меняется на то что нарисовано пунктиром. Т. о., электрон может протуннелировать сквозь потенциальный барьер. Растет n и растет σ.В сильных полях электроны можно ускорить так, чтобы ионизировать узлы кристаллической решетки электронным ударом. Возникает электрическая лавина , выделяется большое кол-во тепла и появляется эффект теплового пробоя.

Термоэлектрические явления в полупроводниках.

Эффект Пельтье. Если пропускать электрический ток через контакт двух разных материалов, то возникает эффект выделения или поглощения тепла. Количество выделившегося контактах тепла (Q_n):

Q_n = ± П I t. П – Коэффициент Пельтье.

П = kT / e·ln n₂ / n₁. n1 и n2 - концентрация электронов в этих двух материалах. Этот эффект объясняется тем, что носители тока в разных материалах имеют разную энергию при переходе из одного материала в другой они отдают избыточную энергию, т. е. тепло выделяется или поглощается.

Эффект Термо – ЭДС. Соединим два разных материала и у них температура контакта (T₀) отлично от температуры концов. Из опыта: между ними появится разность потенциалов Δφ = α ( T₁ – T₀ ). α – коэффициент термо – ЭДС, зависит от природы контактирующих материалов. Эффект Термо – ЭДС появляется т.к. энергия носителей тока разная то у них разные диффузионные потоки в разных частях этого материала.

В условиях равновесия разница диффузионных потоков компенсируется возникающими электрическим током. Т. к. есть градиент температуры, то есть увеличение энергии фотонами, фотоны дают электрону свой импульс. Если носители тока электроны, то холодный конец системы заряжается отрицательно, а нагретый приобретает положительный заряд. Если носители тока дырки, то холодный конец заряжен положительно а теплый отрицательно. У полупроводников α = 10^-7 .. 10^-2 В/К

У металлов α = 10^-5 В/К

Удобно взять термопары (сваренные две проволоки) и по термоЭДС определить разность между температурой спая и концов.

3) Эффект Томпсона Пусть есть проводник с током и в этом проводнике есть различия температур. Из опыта: выделится еще тепло, только Джоулево тепло. Колическтво этого дополнительного тепла в объеме dV за время dt равн

dQ_t = τ (dT/dx) I t.

dT/dx градиент температуры по направлению тока. τ – коэффициент Томпсона, зависит от материала. I – сила тока. Эффект этого лишнего тепла возникает т. к. носители тока в разных частях проводника имеют разные средние энергии теплового хаотического движения. Электроны отдают энергию решетке, вот и выделяется тепло.

10

p-n переход.

При контакте двух полупроводников появляется контактная разность потенциалов. Тот у кого работа ввода вывода меньше будет отрицательным, тот у кого больше – положительным. Пусть есть два контактирующих полупроводника одной природы, но с разным типом проводимости. У этих полупроводников типы n и p. После контакта электроны переходят из n проводника в p. Дырки будут переходить из p проводника в n, так будет пока не сравняются уровни Ферми в этих полупроводниках. Получается соединение p и n.

При контакте получается двойной электронный слой. Будет слой отрицательного заряда, т.к. в проводнике n типа заряженные донорные примеси. Зависимость потенциала от координаты: В зоне перехода потенциал резко скачет т.к. разные заряды у n и p.

Включим p-n переход в сеть:

Запорное включение. Внешнее электрическое поле препятствует прохождению электрического тока. Для “n” – электроны внешним полем увлекаются от контакта., дырки тоже, следовательно, растет ширина запорного слоя, т. е. слоя, где концентрация носителей тока мала.Обычное включение. Ситуация обратная описанной выше, носителей тока в зоне контакта много, сопротивление мало.

Если менять приложенное напряжение и измерять силу тока, то с ростом напряжения при обратном включении сила тока стремится к I₀. Для pn перехода зависимость I(U):

I = I₀ ( exp (eU/kT) – 1 ), где е – заряд электрона, k – постоянная Больцмана, T – температура перехода. U – приложенное напряжение.

Применение p-n перехода:

1) Солнечные батареи. Если p-n переход облучать светом, то валентные e переходят в зону проводимости, дырки тоже, и если замкнуть цепь с p-n переходом, то возникает электрический ток. Энергия света преобразуется в электрическую. КПД ~ 15%.2) Фотодиод. Возьмем запорный p-n переход. Тогда I ~ I₀. Если облучить светом место перехода, то концентрация носителей тока увеличивается, и возрастает проводимость перехода. Изменение силы тока пропорционально изменению интенсивности света. При помощи такой штуки можно следить за изменением интенсивности света.3) Светодиод. Есть прямой p-n переход. Электроны из n переходят в p проводники там рекомбинируются, и наоборот. Можно взять материал, излучающий при рекомбинации. Такой материал является светодиодом. У светодиодов КПД почти 100%.4) Термистор. Так как у p-n перехода сопротивление зависит от температуры, то можно контролировать температуру. Широко применяется как датчик переменного э/м поля.

5) Диод. Если включить p-n переход в сеть с переменным напряжением, то мы получим выпрямленное напряжение.6) Транзистор (полупроводниковый триод). Применяется для усиления переменных электрических сигналов. Транзистор состоит из двух p-n переходов.

Э – эмиттер, К – коллектор, Б – база. Под действием U_э электроны пролетают из эмиттера в базу. Базу делают тонкой, чтобы электроны не успевали рекомбинировать с дырками.

I_э ~ I_к. I_э = U_вк / R_вх. I_к = U_вых / R_вых.

=> U_вых ~ ( R_вых U_вх ) / R_вх. Выбирают сопростивление та, чтобы R_вых >> R_вх. Т. о. напряжение на выходе больше напряжение на входе => сигнал усиливается по амплитуде и мощности.

Гетеропереход.

Это контакт двух полупроводников разной природы. Достаточно сложны в изготовлении, т. к. надо вырастить монокристаллический слой одного полупроводника на поверхности другого. Не все материалы для этого подходят, т. к. для такой штуки у полупроводников должны быть похожие характеристики. Инжекция – переход неосновных носителей через межфазную границу. Можно чтобы n-n⁺ (оба n-типа, но в n⁺ концентрация носителей больше), и p-p⁺ (аналогично). Гетеропереходы используются в фотоэлементах в преобразованиях солнечной энергии. Делают так, чтобы гетеропереход разделял электроны и дырки. Плато – пластинка, у которой на поверхности нанесены полупроводниковые приборы. У этой штуки есть плотность, то есть колво деталей на единицу площади. На одном см ~ 10⁵. Полупроводниковые приборы выгоднее вакуумных аналогов. Наноэлектроника – на основе нано-трубок, размером ~ 10^-9.

Результирующий момент многоэлектронного атома.

Каждый электрон имеет орбитальный момент импульса L_e и спиновый момент L_s. Суммируя все моменты, получаем результирующий момент атома Z_s, зависящий от квантового числа.

I = L + S; L + S -1; | L – S |. L – квантовое число. суммарного орбитального импульса. S – квантовое число суммарного спинового момента. Т. к. с орбитальным движением связан орбитальный магнитный момент, и если электрон обладает собственным магнитным моментом, то можно вычислить результирующий момент, как сумма этих элементов. M_z. Энергия атома зависит от Z вследствие взаимодействия орбитального и спинового моментов: при этом соответствующим терм атома, энергия которого зависит от J.

Электронные свойства полупроводников.

1) Три основных дефекта кристаллической решетки. Из-за теплового хаотического движения 1 атом из решетки приобретает энергию достаточную, чтобы вылететь из узла в междоузлие – образуется пара: вакантный узел и атом междоузлия.

2) Если расстояние между ними велико, и взаимодействия между ними нет, то дефект называют дефектом по Френкелю. В равновесных условиях всегда есть некоторое число таких пар Френкеля. Закон Больцмана дает энергию, нужную для существования такого состояния.

. NN’ – число атомов и число междоузлиев в кристаллической решетке. W – работа, необходимая для удаления атома из узла в междоузлии.

3) Нет междоузельных атомов, они достраивают на поверхности кристаллическую решетку. Дефект Шоттки – дефект состояния лишь у валентных узлов. Число дефектов и валентных узлов.

. N – общее число атомов кристаллической решетки. W_ш – работа, необходимая для переноса атома на поверхность. Точечные – дефекты по Френкелю и Шоттки. В кристалле существуют обычно оба типа, но чаше преобладает один, в зависимости того, какая работа больше. Если в кристаллической решетке атомы двух видов с разным размером, то преобладает у нее дефект по Френкелю. Если в кристаллической решетке один сорт с близким размером, то доминирует дефект по Шоттке.

11