Зачет по физике 2-й семестр

17. Точечный источник и сферические волны. Запаздывающие потенциалы. Потенциалы в стационарном случае. Пусть в нач. коорд. имеется точеч. заряд q(t), кот. меняется с течением времени. (На расст. r от него точка M). , где , где δ(t) – ф-ция Дирека. При r#0, будет δ(t)=0. Тогда ур-е будет справа =0. Следов, φ может завис. только от |r|, т.к. точечн. заряд создает вокруг себя нечто сферич. симметричн вследствие изотропии пр-ва. Переходим к сферическим: . Т.к. φ зависит только от r и не завис от углов, то остается только 1 член. . Докажем: . (Что и тр-сь д-ть). Тогда ур-е будет: , где - волна, бегущая от центра (1) и к центру (2). , т.е. амплитуда волны оказывается непостоян. (уменьшение). Раскладываем в инт. фурье: , где . Допустим, что заряд q с течен. времени практич. не меняется. , . (хотя и есть зависим. от t, но она очень слабая). Решение этот ур-я: . Подставим в ур-е и покажем что решение: . Если от времени потенц. произвольно зависит, то из ур-й . Тогда для общего случая решение . Или более точно . Теперь сдвинем заряд из 0 в т. r₀. Тогда r'=r-r₀. Тогда . Решения: , . Обращаясь к ур-ю запишем решение. Для поля и для потенц. выполн принцип суперпоз. => - потенц. беск. малого заряда объема dV. А теперь сложим все беск. малые потенц: - частное решение ур-я Даламбера. (только с +). Аналогично , аналогично для , только с +. Физич. смысл: 1) заряды – причина поля. Согласно прнц. причин. смысл имеют только запазд потенц, т.е. потенц. не может опереж. заряд. 2) ЭМ поле в точке наблюд в некот. момент t определ. располож. и движ. зарядов в предш момент времеи (t-r’/), определяемый расстоянием от заряда то точки наблюд. Чтобы интегр. имели смысл, необходимо чтобы ρ и j убывали.

18. Общее решение уравнений поля в потенциалах. Характерные случаи постановки задачи о нахождении поля. Ур-я Даламбера: , . Общее решение , . Или , (φ_волн аналог.) . . Пусть систма зарядов (r₀) имеет малые разм. по сравнению с расст. до точки набл r. , . . Пусть размеры об-ти наблюдения также меньше чем r. a<<r. Тогда r тоже можно считать const. . (не замечаем кривизны волны). Волновые потенц. можно также считать создан. некотор. системой зарядов и токов, располож. на очень больш. удален. от об-ти наблюдения (или существ. в далеком прошлом). Для запазд. потенц. автоматически выполн. нулевое граничное условие, для волновых неизвестно. 2) Для того, чтобы найти φ и A(t), мы должны рассмотр. предшеств. момент времени (t-Δt,t), где . 3) До некоторого момента t₀=0 система зарядов находилась в стационарн. состоянии: при t<t₀ поля ρ(r) и j(r). и . При t>t₀, φ_зап(rt)=…, A_зап(rt)=…. 3) Периодич. изменение плотностей приводит к такому же периодич. изменению потенц. с некоторым временным сдвигом.

19. Общие особенности стационарных полей. Уравнения Пуассона и их общее решение. Мультипольное разложение. Стационар. – это поле, не завис. от времени. E и B, т.к. калибровочная неоднозначн. потенц., то будем иметь ввиду что φ и А от времени не завис. Условия стацион.: 1) ρ и j не завис. от t, т.е. ρ=ρ(r) и j=0, т.е. система зарядов статична. Также отсутств. своб. волновых полей. φ_волн=0, A_волн=0. Уравнения Пуассона будут: , . В стац. случае эл. и маг. поля не связаны друг с другом (в данной СО). Ур-я Максв. для стац случая: rotE=0, , , divB=0. (т.е. система Максв. распалась на 2 подсистемы). Для потенциалов: E=-gradφ, B=rotA. – потенц. не зависят друг от друга. Поле E стало чисто потенц. (вихри отсутств). Вычислим работу по перемещ. заряда: . => . Физ. смысл φ: Разность потенц. – измеряемая величина, равная удельной работе (A/q), соверш. эл. полем при перемещ. зарядов между 2-мя точками. Тогда φ – удельная потенц. энергия. точечн. заряда в эл. поле. A₁₂=qφ₁-qφ₂=U₁-U₂. => , - энерг. полей. . Если либо E=0, либо B=0, то потока энергии не будет. Если E и B #0, и E не || B, то S#0, т.е. имеет место перенос энерг. . Ситуац. аналогична стац. потоку жидкости (нам кажется, что поле неподвиж., на самом деле движ. есть). М-пол. разлож. Система зарядов . Пусть r_oi<<r. Формально разлож. в ряд Тейлора вблизи точки r_0i. . Обозначим r_x=x=x₁, r_y=y=x₂, r_z=z=x₃. А индексы 1,2,3 – α β γ. => . . Первое слаг – φ₁, второе – φ₂… Это разложение и есть мультипольное разл. , где - сумма всех зарядов. Т.е. первый член – то же самое, что и поле точечн. заряда. Т.е. в самом грубом приближ. свели к точечн. заряду. - монопольное прибл. , где , а d – дипольный момент системы зарядов. Рассмотрим разложение в ряд: - для непрерывн. распредел. заряда в V₀. , где . n – единичн. вектор направл. на точку наблюд. , а . Если Q=0, то φ₁=0, будет φ₂ преобл. E найдется тоже как сумма E=E₁+E₂+… E₁ – напряж. точечн. заряда. . Следов, , или . Св-во: Дип. момент электронейтр. системы не зависит от выбора нач. коорд. (Чертеж: точка O, O', a=OO'. Точка i в области V₀. r_0i=Oi. r₀'=O'i). . Здесь . , где , а . .

20. Дипольный момент системы. Квадрупольный момент. , где . – поле точечн. заряда. - монопольное прибл. , где - дипольн. момент сист. зарядов. - для непрерывно распредел. заряда в V₀. , где - единичн. вектор направ. на точку наблюд. Если Q=0 (система электронейтр.), то φ₁=0, а преобл. будет φ₂.

21. Электростатическое поле точечного заряда и системы зарядов в вакууме. Электростатическое поле системы зарядов в дипольном приближении.

22. Система электрических зарядов во внешнем электростатическом поле. Работа сил и потенциальная энергия зарядов. Дипольное приближение. Сила, действующая на жесткую систему во внешнем поле. Момент сил. Пусть вн. электр. поле по отношению к системе является слабо неоднор. (Чертеж: точка О, рядом – облако зарядов (т. М там), вектор из О r_M до т. М, и r_i к i заряду, вектор r_i' – из М к i заряду). , , здесь φ – потенц. внешнего поля. Разл. в ряд Тейлора, приняв . . Слабая неоднородн. – 2 член (U₁) значит. меньше 1 (U₀). . . Если Q#0, то ищем поправку U₁<<U₀. Если Q=0, тогда U₀=0, а доминирует U₁. , где d – дип. момент системы. . Остальн. =0, т.к. d=const при Q=0. rotE=0. Если E=const, то F₁=0. На отд. части системы действ. силы, которые могу созд. вращ. момент. , - момент силы. За + напр. Θ примем напр. против чс. Моент сил стремится ориент. диполь || полю. M=[dE].

23. Энергия взаимодействия зарядов в системе и энергия электростатического поля. Для 2 зарядов сила . Т.е. получаем картину дальнодействия и поле – вспомогательная роль. Потенц. энерг. взаим. зарядов в самой системе , где (для 2х зарядов). Для системы . Здесь ½ т.к. есть взаимодействие, напр. 1-3 и 3-1, а при сумм. энергия удваив. Т.к. след. . , следов. (заменим . , т.к. , . Энергия поля . Установим соотв. между рамочками. В принципе в первой рамочк. безразлично, по какому объему инт, интегрир. по бескон. (т.к. ). . Получим . => . , , , , . Также . => интеграл пропорц. 1/r, а при интеграл -> 0. => U=W.

24. Магнитостатическое поле. Векторный потенциал и индукция магнитостатического поля. Закон Био-Савара-Лапласа. - для статического поля. Частное решение: , или . (Чертеж: на блине точка O, от нее по блину до участка с током идет вектор r₀. От тока до точки M наверху – r'. От О до M – r). , т.к. . Т.е. . Токи, сосредоточенные в длинных тонких проводниках: s – пл. попер. сеч, . Тогда . Здесь L – контур проводника, J – ток на участке dl. Это закон Био-Савара-Лапласа. и .

25. Магнитное поле на большом расстоянии от системы токов. Магнитный дипольный момент. В случае стацион. сист. токов . Если система токов стацион., то и система зарядов стацион. . Т.е. в любой точке р и j не изменяются с теч. времени. . (если изображать сил. линии j, то они будут замкнуты. Разобьем весь объем системы на трубки тока (т.е. она охватывает силовую линию j). . Т.к. в силу замкнутости линий j второй инт. =0. А первый инт – по всем трубкам. . . . Здесь первый член =0. Во втором: . Первые {}=. Во вторых {} вектор dl находится на конце r₀, его можно обозн. как dr₀: = , т.к. интеграл по замкн. конт. от дифференц. всегда =0. . Пусть где m – магн. дипольный момент (характериз. распредел. токов в системе). , где . Тогда тут в 1 члене div =0, второй =0 т.к. m не зависит от r, третий также =0. Получим =. Получим . Аналогично как . Можно записать при r>>r₀ (прибл. в 3 раза) .

26. Магнитный момент витка с током. Связь между магнитным моментом и моментом импульса системы заряженных частиц. Магн. дипольн. момент системы не зависит от выбора начала коорд. (Чертеж: точка O, от нее до т. O' вектор a, далее произвольно вектор r₀. И вектор r₀', причем a+r₀'=r₀). , т.к. второй интегр. в скобках =0. (Чертеж: контур тока с j, из точки O проведен r₀ до участка dl контура. Около dl взято dV₀.) . Если вектор пройдет dl, то образует некоторую пов-ть dS. . Пусть виток с током оказывается плоским. (Чертеж: Сектор витка – dS, направлен по нормали вверх). . Пусть имеется система зарядов, совершающих стацион. движение по некоторой орбите (пусть они точечные). , где , , с учетом получится . Также . Тогда . Пусть все заряжен. частицы одинаковы (либо одинаковое отнош. заряда к массе). . Где L – момент импульса движ. частиц. Тогда - гиромагнитное отношение.

27. Энергия системы движущихся зарядов во внешнем магнитном поле. Сила, действующая на систему. Момент сил. , (вправо члены – потенц. энергия). Это для электрического поля. (Чертеж: Скорость V вправо вниз, перпендик. вправо вверх F_Л, от нас за листок вектор B). - т.е. для магн. поля нельзя говорить об энергии. Это (1). это (2). Структура формул одинакова в дипольном приближении, для рабочей модели примем, что магн. поле создается магн. зарядами, которые создают магн. диполь (т.е. есть + и – магн. заряды). (Чертеж: два заряда, – и +, от – к + вектор m). и также будем считать, что магн. заряды взаимодейств. по з-ну Кулона, только вместо k – f. , где в скобках – магнитный заряд по аналогии с электрич., F=qE. Тогда будет как . А сейчас магн. заряды можно выкинуть, т.к. в конечное выражение они не входят. (т.к. ). Далее это (4) по аналогии с . Также по аналогии с получим . Рассмотрим случай. Имеется система токов с магнитным моментом m в слабом неоднородном магн. поле. Магн. поле действует на систему токов ориентирующим образом (т.е. действует некотор. момент сил)? , где - бескон. малая сила, действующая на беск. малую часть тока. Тогда . Пронумеруем интег. . Получим . Т.к. поле B слабо неоднородно, то B=const. т.к. под интегр. =0. Здесь использовали . применим , т.к. интеграл по замкнутом контуру от полного дифференц. всегда =0. Пятую можно получить из третьей формулы как gradU, а потом получить (4).

28. Энергия магнитостатического поля. это (6). , далее . Также , также по 3 максвеллу. Получим , где пос – по объему системы. . Первый инт =0. Т.к. A~1/r, B~1/r², S~ r², то интеграл ~ 1/r, что при стремится к 0. Далее, это (7). Аналогично было . Из решения ур-я Пуассона: . . Это (8). Как будто тока взаимодействуют сами с собой без поля. Аналогично . Это (8'). Знаем , . То есть на 16 порядков. Из (6) . То есть . То есть, W_М можно считать релятивистски малой по сравнению с W_эл. Магнитное взаимодействие можно рассматривать как релятивистскую поправку к электрич. взаимодействиям. Магн. поле, магн. взаимодействие проявляет себя только в случае того, что теория относит. верна.

Путеводитель.

1. Электрический заряд. Закон Кулона. Плотность заряда. Вектор плотности тока. Свойства заряда. Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности.

2. Электромагнитное поле. Электрическая напряженность, магнитная индукция. Сила Лоренца. Закон Ампера.

3. Уравнения Максвелла - Лоренца для системы зарядов в вакууме.Принцип суперпозиции.

4. Система уравнений Максвелла - Лоренца в интегральной форме. Связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма.

5. Основные задачи электродинамики.

6. Общие особенности электромагнитного поля.

7. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов.

8. Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Вектор Пойнтинга. Теорема об изменении энергии поля в дифференциальной и интегральной формах.

9. Закон сохранения энергии для замкнутой системы "поле - заряды".

10. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса. Получение уравнения закона сохранения импульса из уравнений Максвелла. Плотность импульса. Связь между плотностями импульса и потока энергии.

11. Потенциалы электромагнитного поля. Калибровка. Калибровочные преобразования.

12. Уравнения поля в потенциалах. Калибровочные условия Лоренца и Кулона.

13. Допустимость лоренцевой калибровки.

14. Решение уравнений поля в потенциалах.

15. Одномерное и трехмерное волновое уравнение. Плоские волны.

16. Гармонические составляющие свободного поля.

17. Точечный источник и сферические волны. Запаздывающие потенциалы. Потенциалы в стационарном случае.

18. Общее решение уравнений поля в потенциалах. Характерные случаи постановки задачи о нахождении поля.

19. Общие особенности стационарных полей. Уравнения Пуассона и их общее решение. Мультипольное разложение.

20. Дипольный момент системы. Квадрупольный момент.

21. Электростатическое поле точечного заряда и системы зарядов в вакууме. Электростатическое поле системы зарядов в дипольном приближении.

22. Система электрических зарядов во внешнем электростатическом поле. Работа сил и потенциальная энергия зарядов. Дипольное приближение. Сила, действующая на жесткую систему во внешнем поле. Момент сил.

23. Энергия взаимодействия зарядов в системе и энергия электростатического поля.

24. Магнитостатическое поле. Векторный потенциал и индукция магнитостатического поля. Закон Био-Савара-Лапласа.

25. Магнитное поле на большом расстоянии от системы токов. Магнитный дипольный момент.

26. Магнитный момент витка с током. Связь между магнитным моментом и моментом импульса системы заряженных частиц.

27. Энергия системы движущихся зарядов во внешнем магнитном поле. Сила, действующая на систему. Момент сил.

28. Энергия магнитостатического поля.