Зачет по физике 2-й семестр

1. Электрический заряд. Закон Кулона. Плотность заряда. Вектор плотности тока. Свойства заряда. Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности.

2 аспекта – заряд – свойство материи участвовать в ЭМ взаимодействии, и заряд - физ. величина – величина, определяющая интенсивность ЭМ взаимодействия. Заряд: точечный q, пространственный Q, элементарный e. Если единичн. заряд помещать в ЭМ поле, то на него сила F~q. Берем другую частицу, на нее действует сила . скорость протекания заряда. 1А – это сила пост тока, текущего по 2м || ∞ прямолин. проводникам, ∞ малого сечения, на расст 1м др. от др., действуют с силой f₀=2*10^-7 Н/м. Атрибуты заряда: скаляр, действительное число, инвариантен к преобраз. Лоренца (не зависит от скорости), аддитивность (суммирование), дискретность (предельная делимость). Объемная пл-ть,поверхностная ,линейная. Скалярное поле ρ= ρ(xyzt). . Закон сох-я заряда Полняй заряд замкнутой сис. сохраняется, не изменяясь с течением t. Пл-ть тока . Зная ρ и j, можем знать все о движении заряда. Силовые лини j. Рисунок(силовые линии проходят круглую площадку ) Сила тока через поток: . Рисунок (цилиндр, от его конца на некоторый угол отходит круглая площадка, из ее центра два вектора - прямо j под углом к нему n.) . Это совпадает с определением силы тока данным ранее. Закон сохранения. Алг. сумма зарядов в замкн. сис. неизменна. Убыль заряда в ед. t в нек. объеме прост-ва = току через замкнутую повер-ть ограничив. этот объем. .Закон сохранения заряда в дифференциальной форме (Уравнение непрерывности.) ,т.к.то получим. (переход к частной т.к. ρ ф-ция от r и t).. По Гаусса ,то (1), если инт. =0 то подинтег. Выражение=0. Здесь он =0, т.к. V произвольный. - закон сохр. заряда в дифф. форме (ур-е непрерывности тока-зарядов).

2. Электромагнитное поле. Электрическая напряженность, магнитная индукция. Сила Лоренца. Закон Ампера. ЭМ поле рассматривают как особый вид материи. Св-ва: отсутствие четкой локализации в пр-ве, E и B ~ 1/rⁿ, где n=1,2,3…, абсолютная проницаемость (в 1 точке неск. не влияющих др.на др. полей). Поле и в-во различаются только массой. У поля есть W, импульсом и его моментом. Эти величины размазаны в пространстве с нек. плотностью. Сущ. Единое ЭМ поле с двумя хар-ми Е,В(r,t) .-эл.напряженность, -маг. индукция. На заряженные тела действуют силы двух типов: 1)Сила не зависящаа от скорости движения -Электрическая сила . 2)Магнитная сила пропорц. ск-ти движ. заряда и перпенд. вектору скорости. Сила называется силой Лоренца, действует на заряд в общем случае. Для строгого введения Е,В рассм. Модель точечного заряда.Разобьем тело на dV с dQ. На них сила dF. Полная сила . Если поле однородно, то слабая зависимость от r, , . Возьмем беск. длинный тонкий проводник. Заменим q на ρdV, получим . Если поле j внутри проводника однородно: . В однородном поле закон Ампера: или . Однородное поле – не зависит от коорд. Стационарное – от времени. E и B исчерпывающе опис.

3. Уравнения Максвелла - Лоренца для системы зарядов в вакууме.Принцип суперпозиции. Связь между векторами ЭМ поля с одн. стороны и движ. порожд. это поле зарядов с другой ст. Ур-я: , , , . Первые два – однородные, вторые – неоднор. В любой СИ . Ур-я М. – дифур 1 порядка, в 1 степени – линейные. ЭМ поле системы зарядов в любой точке пр-ва предст. собой векторную сумму полей каждого из зарядов в отд. Пусть . Линейность: . Элемент. заряд , элем. ток . Они делают dE₁, dB₁. Результирующее поле будет как сумма , . Ур-я М. локальны в пр-ве и времени. Т.е. связывают физические явл. в один момент времени. В Ур-ях М. есть избыточность, т.е. они немного связаны. , , , , но т.к. есть перемен. поля, то только . , , закон сохр. заряда в дифференц. форме.

4. Система уравнений Максвелла - Лоренца в интегральной форме. Связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма. 4. => По т. Гаусса - инт. аналог 4 ур-я. Т. Гаусса: поток E через замкн. пов-ть пропорц. заряду внутри пов-ти. Окружим точечный заряд сферой. E и ds совпадают по направ., поэтому скаляр , откуда - поле точечного заряда. Поместим заряд q₁, , получим закон Кулона как следствие Гаусса: . 2. , далее . Т.е. линии магнитного поля B всегда замкнуты (либо в ∞). 1. => - магнитный поток. По т. Стокса - инт. аналог 1. Также это ЭДС индук. 3. => - инт. аналог 1. Где I – сила тока , N – поток вектора электрич. напряж. . Пусть пост. электрич. поле E=const. Получим . Т.е. закон постоянного тока. Длинный проводник, вокруг него окружность, по касат к ок-ти B, в любой точке ок-ти одинаков. Циркуляция вырождается в , откуда - Эрстед. Магн. поле может создаваться еще и переменным эл. током (член ). Т.е. это закон МЭИ. . Из ур-я Максв. двухсторонняя связь полей. . , .

5. Основные задачи электродинамики. 1. Дано распределение зарядов и тока , . Найти поля , . Но поля здесь неоднозначны. Нужно доп. условие, т.е. нач. условия при t=0. E_нач(r) и B_нач(r). Также граничные условия E_гр(t,r_гр), B_гр(t,r_гр). 2. Обратная. Известны поля , , найти , .Через 4 ур-е М. выражаем , из 3 ур-я М. . Обычно при r->∞ E(∞)=0, B(∞)=0.

6. Общие особенности электромагнитного поля. Т: Любое дифференцируемое вект. поле может быть разложено в сумму потенциал. и вихревого полей. Поле . Требования для потенц. поля и . Для вихр. поля и Применяя к E, можно , - 1 ур-е М. и . К 4 ур-ю М: и . Потенц. составл – поле источников rot(-gradφ)=0, вихр. сост – переменное поле. Вихревое: чисто вихр и соленоидальное. Анализируя III и IV ур-е М. divB=0, rotB#0, поле B – чисто вихревое. Линии либо замкнуты, либо на ∞. Т.е divrotA=0, где A – векторный магнитный потенц.

7. Работа, совершаемая полем при перемещении зарядов. Есть точечная частица m, заряд q, движется с V. По 2 з-ну Ньютона . Т.к. Vdt=r, то . Посл. член=0, т.к. V||dr. . Т.е. при действии на своб. частицу магн. составляющая силы Лоренца работы не соверш. Подставим и , . Получим где . Где слева под пр-ной объемная плотность мощности ЭМ поля (работа, соверш. полем в единице объема в единицу времени).

8. Энергия электромагнитного поля. Плотность и поток энергии. Вектор Пойнтинга. Теорема об изменении энергии поля в дифференциальной и интегральной формах. Объемная плотность мощности . Умножим на и на , потом сложим. . Получили (2) : ,где плотность энергии ЭМ поля , а плотность потока энергии ЭМ поля . По аналогии закон сохранения заряда . Ур-е (2) указывает, что энергия может переноситься через некоторую пов-ть. Поток энергии – энергия, переносим. потоком через некотор. пов-ть в ед. времени. Плотность потока – поток, приходящийся на ед. площади. S – вектор пойнтинга. Ур-е (2) – закон сохранения энергии в дифф. форме. Проинтегрируем (2) по некотор. объему , где - энергия в объеме V. По т. Гаусса (из 1 ур-я). Убыль энергии поля в некотор. объеме в ед. времени равна сумме потока энерг. через пов-ть, ограничив. данный V и мощности работы, соверш. полем над зарядами в данном V.

9. Закон сохранения энергии для замкнутой системы "поле - заряды". Если система замкн. – вектор Пойнтинга на границе объема =0. (для этого в реальных условиях E и B убывать быстрее чем 1/r, и S убывать быстрее чем 1/r²). Тогда , откуда . Это з-н сохранения энергии. Т.е. , где втор. член = . Мы исходили из того, что поле действует на частицы, ускоряя их. Но этот рез-т справедлив также и для частиц, не имеющ. заряда. Исчезновение в формуле потенц. энергии связано с переходом к картине близкодействия, тогда энергия взаимод-вия сводится к энерг. поля.

10. Импульс электромагнитного поля. Закон сохранения импульса. Получение уравнения закона сохранения импульса из уравнений Максвелла. Плотность импульса. Связь между плотностями импульса и потока энергии. Знаем , где . Подставим (из 4 ур-я) и (из 3 ур-я). . Добавим =0 члены , где (из 1 з-на Максв). Получим и проинтегрируем по объему. . Выраж. в точках = 0, получим , где . Импульс ЭМ поля рапредел. по объему с плотн. . Докажем …=0. Проецируем на ось х: (первая сумма , вторая ). Получим = по т. Гаусса = (из условия замкнутости, быстрое убывание E). Если рассматривать движущуюся часть энергии, то , (по аналогии с ). Тогда - это плотность энергии в потоке. Здесь , . .

11. Потенциалы электромагнитного поля. Калибровка. Калибровочные преобразования. Потенц. ЭМ поля вводятся на основании однор. ур-й Максв (I и II). divB=0 и divrotA=0, А – любое вект. поле. Если B=rotA, то II з. Макс. будет выполняться. Любое вект. поле A, удовл. этому называется векторным (магн) потенциалом. , => => , или . Любое скал. поле φ(r,t), удовл. этому, называется скалярным (электрич) потенциалом. Потенциалы А и φ измер. невозможно, т.о. они опред. неоднозначно. Пусть к А добавим некоторое потенц. поле . B'=rotA'=rotA+rotgradφ=rotA=B. Т.е. векторный потенц. измеряется с точностью до градиента. К φ добавим: φ'=φ+x. . (Первая скобка =Е). , - это условие =0. Т.о мы знаем, как можно преобразовывать потенциалы. Это калибровочные преобразования, а выбор определенных потенциалов из возможных – калибровка.

12. Уравнения поля в потенциалах. Калибровочные условия Лоренца и Кулона. Максв.: , . Подставим и B=rotA. и . => и . В первом ур-и сложим члены под grad. Поскольку A и φ определены неоднозначно, то можно добиться - это усл-е калибровки Лоренца. Получим уравнения Даламбера: и . Кулоновская калибровка: пусть поле A – чисто вихревое, divA=0. Тогда уравнения приобретут другой вид: и .

13. Допустимость лоренцевой калибровки. . Пусть не нулю, а =f(rt). Осуществим калибровочное преобраз. потенциалов A->A' =A+gradψ и φ->φ'= и потребуем, чтобы усл-е калибровки выполнялось для новых потенц. , отсюда . Т.е. снова ур-е типа Даламбера. Оно всегда имеет решение. Если для А и φ усл-е калибровки Лоренца не выполн., то всегда можно совершить такое калибр. преобраз., чтобы для А' и φ' выполнялось.

14. Решение уравнений поля в потенциалах. Общее решение ур-я Даламбера представляет собой сумму частного решение неоднор. ур-я и общего решения соотв. однородного ур-я, именуемым волновым. и . Осн. задача ЭД-ки для потенц. Нахождение полей A и φ, удовлетв. ур-ям Даламбера с заданными правыми частями. и . Дано: и . Найти А и φ(rt). Для получения решения – начальные и граничные условия. - 4 системы н.у. , , , при r стрем. к бесконечн, =0. И .

15. Одномерное и трехмерное волновое уравнение. Плоские волны. Дано: . Его общ. решение - , где f₁ и f₂ – произвольные дифферец. ф-ции. . . , => , т.е. f₁ полностью удовл. волновому ур-ю. Аналогично и для f₂. Условие - в различ. моменты времени ф-ция просто передвигается вдоль оси x. (Чертеж – оси x и f₁. Сиськи, одна выше, др. ниже.). Т.е. значения ее равны. , - ф-ция двигается со ск-тью c в положит. напр. оси x. Для f₂, - ф-ция движется со ск-тью c в против. сторону от положит. напр. оси x. Волна – это процесс перемещения в пр-ве состояния поля. Трехмерный случай: . Решением является , где , введем координ. ось ζ, совпадающую с вектором k₀. => . => . f₁ – волна, бегущая в + напр. k₀. f₂ – в против. напр. Аргументы f₁ и f₂ – фаза волны. Ур-е описывает плоскую волну потенциала, т.к. пов-ть пост. фазы в любой момент време0ни явл. пл-тью, . Д-во: зафикс. момент времени и зафиксируем момент времени t , получим . Это ур-е пл-ти .

16. Гармонические составляющие свободного поля. Предположим, что решение волнового ур-я будет в таком виде: (это не проекции, а ф-ции). Поделим на φ и получим . Каждое из слагаемых – ф-ция одной переменной, но при произв. измен. этих ф-ций их сумма в любой момент времени =0, значит это не ф-ции, а определ. константы. Соотв. после подстановки их ур-е будет . Пример для x: => . Решением будет . (Напиши для всех). ± писать бессмысленно в силу произв. k. . Пусть . , . , пусть ω>0, . Первая волна бежит в направлении k, вторая наоборот. Избавимся от комплексности (просуммир. φ, беря разл. знаки). . , , где ω – циклич. частота. . k – волновой вектор, модуль – волновое число, ск-ко длин волн укладывается на 2π единиц длины. Общее решение имеет вид: . Это интегр. по объему k-пространства. . - беск. малая амплитуда определ. гармоники при определ. k. Общее решен. волн. ур-я. – суперпозиц. плоских гармонич. волн всевозм. амплитуд, частот и направл. распростран. Можно представить действ. и мним. часть потенц: Re C_φ(k) и Im C_φ(k). Действ. решение: . - условие действ. потенц. Подставим , , . Получим . Сопоставим с 1 ур-ем. Из теории интегр. Фурье следует, что коэфф. определ. однозначно. и . Это необх. чтобы потенц. был действ. Разобъем 1 ур-е на 2 инт, подст. во втор. часть ур-я k->k'=-k и условие, получим (соединив вновь) . Внутри члены – комплексносопряженные. Т.к. a+a^*=2Rea. Получим , где , . Для второго волн. ур-я .