§ 3. Применение аналитических методов.

Аналитические методы применяются в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или процессов. Эти методы используются при разрешении задач движения или устойчивости, оптимального решения, оптимального распределения работ и ресурсов, выбора оптимального пути, оптимальной стратегии поведения в конфликтных ситуациях и т.д.

Рассмотренные выше математические теории явились основой ряда прикладных теорий, таких как теория автоматического управления, теория оптимальных процессов, теория решений, теория исследования операций и т.д.

При применении аналитических методов для анализа задач, возникающих при разработке и организации функционирования сложных систем, нужно установить все детерминированные связи между компонентами (подлежащими выбору), учитываемыми критериями и задачами (формализующими цель системы) в виде аналитических зависимостей. Для задач, в которых учитывается много компонент и много критериев, это трудно осуществить. Более того, если даже это удается, то практически невозможно доказать правомерность применения этого аналитического выражения, то есть адекватность полученной аналитической модели рассматриваемой задаче.

Кроме того, в ряде случаев (в частности, при описании системы “документальный информационный поток”) в принципе нереально установить все связи между учитываемыми компонентами (информационными источниками) и целями (информационными потребностями, запросами).

В таких случаях возможны следующие подходы:

1. Не устанавливая всех детерминированных связей, на основе выборочного исследования получить статистические закономерности и распространить их с какой-то вероятностью на поведение системы в целом (т.е. применить статистические методы).

2. С помощью знаковой системы (“языка”) фиксировать явные простейшие связи и, комбинируя их, выявлять новые, неизвестные ранее. Иными словами, использовать то, что известно к моменту начала анализа задачи и, постепенно накапливая новые факты и связи, все более и более адекватно отображать систему и исследуемые в ней процессы.

Статистические методы (Гришина Е.)

Не всегда допустимо вводить такие жёсткие ограничения, которые позволили бы представить систему с помощью детерминированных категорий без ущерба для понимания свойств реальной системы.

Например, в тех случаях, когда:

• исследователю неизвестна программа, структура или поведение системы.

• Они настолько сложны, что невозможно описать их аналитически.

В этих случаях применяют статистические методы и говорят о случайных (стохастических) событиях, процессах, моделях.

Статистическое отображение системы можно представить в виде «размытой точки» в

N-мерном пространстве, совершающей какое-либо движение (поведение) системы.

Размытую точку следует понимать как некую область, характеризующую движение (поведение) системы, границы этой области заданы с некоторой вероятностью. Движение точки по этой области определяется не аналитическим выражением, а некоторой случайной функцией.

Закрепляя все параметры, кроме одного и исследуя поведение системы, можно получить разрез по линии ab , физический смысл которого- воздействие данного параметра на поведение системы в свободном движении, что можно описать статистическим распределением по данному параметру. В принципе существуют 2,3, .. n – мерные статистические распределения (по n осям).

Статистические распределения можно представить в виде ДСВ и их вероятностей или в виде НСВ, непрерывных случайных событий, непрерывных случайных процессов.

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы.

Для дискретного случая чаще всего закон распределения представляют в табличной форме:

X i	X1	…	Xn
P(xi)	P1	…	Pn

Для непрерывного случая:

1. В виде функции распределения F(x)

2. В виде плотности вероятности f(x)= F(x)

Практическое применение получили, в основном, одномерные распределения.

Однако определение закона распределения является трудной часто невыполнимой задачей, поэтому используется не сам закон распределения, а его характеристики - начальные и центральные моменты: математическое ожидание, дисперсия, ковариация (момент связи), коэффициент корреляции.

Математическое ожидание вычисляется по формуле:

Для дискретных величин:

Для непрерывных величин:

Дисперсия случайной величины

Для дискретных величин:

Для непрерывных величин:

На практике часто используется не дисперсия, а среднее квадратическое отклонение, то есть квадратный корень из дисперсии.

Связь между системами в общем случае характеризуется ковариацией- моментом связи:

Если Х и У независимы, то

Часто вводят ковариацию нормированных отклонений, которую называют коэффициентом корреляции

Также важной статистической характеристикой системы является энтропия.