Определение ортонормированного базиса матрицы

Вычисление ортонормированного базиса матрицы обеспечивают нижеприведенные функции:

В = orth(A) — возвращает ортонормированный базис матрицы А. Столбцы В определяют то же пространство, что и столбцы матрицы А, но столбцы В ортогональны, то есть B*B=eye(rank(A)). Количество столбцов матрицы В равно рангу матрицы А.

Пример:

» A=[2, 4, 6;9, 8 ,2;12, 23, 43]

А =

2 4 6

9 8 2

12 23 43

» B=orth(A)

В=

0.1453 -0.0414-0.9885

0.1522 -0.98630.0637

0.9776 0.1597 0.1371

null (А) — возвращает ортонормированный базис для нулевого пространства А.

Пример:

» null(hilb(11))

ans =

0.0000

-0.0000

0.0009

-0.0099

0.0593

-0.2101

0.4606

-0.6318

0.5276

-0.2453

0.0487

Функции приведения матрицы к треугольной форме

Треугольной называется квадратная матрица А, если при l>k (верхняя треугольная матрица) или при к>1(нижняя треугольная матрица) элементы матрицы A(l,k) равны нулю. В строго треугольной матрице нули находятся и на главной диагонали. В линейной алгебре часто используется приведение матриц к той или иной треугольной форме. Оно реализуется следующими функциями:

rref (A) — возвращает приведенную к треугольной форме матрицу, используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. По умолчанию принимается значение порога допустимости для незначительного элемента столбца, равное (max(s1ze(A))*eps*norm(A,inf));

[R, jb] = rref (A) — также возвращает вектор jb, так что:

r = length (jb) может служить оценкой ранга матрицы А;

х( jb) — связанные переменные в системе линейных уравнений вида Ах=b;

А(:, jb) — базис матрицы А;

R(l:r.jb) — единичная матрица размера rхr;

[R. jb] = rref (A,to!) — осуществляет приведение матрицы к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента для заданного значения порога допустимости tol;

rrefmovie(A) — показывает пошаговое исполнение процедуры приведения матрицы к треугольной.

Примеры:

>> A=[2, 4, 6, 1;9, 8 ,2, 4;12, 23, 43, 7]

A =

2 4 6 1

9 8 2 4

12 23 43 7

>> rref (A)

ans =

1.0000 0 0 0.6211

0 1.0000 0 -0.2263

0 0 1.0000 0.1105

Определение угла между двумя подпространствами

Угол между двумя подпространствами вычисляет функция subsрасе:

theta = subspace(A.B) — возвращает угол между двумя подпространствами, натянутыми на столбцы матриц А и В. Если А и В — векторы-столбцы единичной длины, то угол вычисляется по формуле acos(A'*B). Если некоторый физический эксперимент описывается массивом А, а вторая реализация этого эксперимента — массивом В, то subspace(A.B) измеряет количество новой информации, полученной из второго эксперимента и не связанной со случайными ошибками и флуктуациями.

Пример:

» Н = hadamard(20);A = Н(:,2:4);В = Н(:,5:8):

» subspace(A,B)

ans =

1.5708