4.1. Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия
Рассмотрим
классическую постановку. Пусть предприятие
имеет возможности выпускать n
видов продукции, располагая при этом m
видами сырья. Запасы этих ресурсов
(материальных, финансовых, временных,
людских и т.п.) составляют соответственно
единиц. Для каждого j-го
вида продукции
считаются заданными
–
прибыль от реализации единицы продукции,
– затраты i-го
вида ресурсов на выпуск единицы продукции.
Требуется найти оптимальное значение
выпуска каждого вида продукции за
определенный период (день, месяц и т.п.)
в виде вектора решений
,
обеспечивающего предприятию максимальную
прибыль (цель) при заданных ресурсах.
Математическую модель задачи будем строить путём непосредственного вывода входящих в неё зависимостей. Суммарное значение прибыли от реализации всей продукции опишем зависимостью вида
. (4.1)
Ограничения на расход имеющихся ресурсов на предприятии:
, (4.2)
ограничения на выпускаемую продукцию:
. (4.3)
Задача линейного программирования решается известными численными методами, например методом Гомори и Симплекс-методом. При решении практических задач эта модель дополняется рядом критериев и ограничений.
Пусть известно,
что на k-е
изделие на
рынке имеется фиксированный спрос в
.
Это условие можно формализовать как:
. (4.4)
Будем считать, что
по выпуску r
изделий вида
предприятие имеет ограничение
производительной мощности, позволяющее
ему выпускать эту продукцию не более
чем
.
Этот факт можно описать ограничением
вида:
. (4.5)
На остальную часть изделий реальные ограничения отсутствуют, поэтому их можно представить в виде
. (4.6)
Таким образом, первое развитие класса задач (4.1) - (4.3) состоит в замене условия (4.3) на ограничения (4.3) - (4.6) при заданных значениях и .
Будем считать
заданными значения трудоёмкости (затрат
времени)
на выпуск продукции j-го
вида,
,
тогда общие затраты времени на выпуск
запланированной продукции определяется
по формуле вида:
. (4.7)
Величину (4.7) можно
рассматривать как дополнительную
целевую функцию. Если в задаче (4.1) - (4.3)
критерий (4.1) заменить на критерий (4.7),
то получим тривиальное решение
.
Поэтому с этой целевой функцией (4.7)
необходимо использовать ограничение
вида (4.4) - (4.6).
Кроме целевой функции (4.7) можно использовать целевую функцию общей численности занятых работников:
, (4.8)
где
– численность работников, участвующих
в изготовлении единицы
-ой
продукции.
Рассмотренные
выше модели могут быть использованы
при планировании производства изделий
в больших количествах и с небольшой
стоимостью, а также сыпучей или жидкой
продукции (цемента, горюче-смазочных
материалов и т.д.). Для использования в
задачах при планировании производства
уникальных изделий (самолеты, корабли
и т.д.), обладающих значительной стоимостью,
условия (4.3) должны быть заменены на
целочисленные
,
.
В этом случае получим дискретную линейную
модель.
4.2. Распределительные задачи принятия решений
Оптимальное распределение имеющихся объемов ресурсов, числа объектов и т.п. является актуальной задачей ТПР. Как показала практика, такие задачи можно решать с применением линейных моделей, которые имеют следующие особенности:
1) В моделях
используются двухиндексные переменные
–
,
а в общем случае многоиндексные.
2) Формируется множество допустимых решений с помощью ограничений типа равенств и неравенств.
3) Переменные задачи могут принимать только дискретные значения, то есть в распределительных задачах используются дискретные линейные модели.