
- •П.И. Тутубалин, л.Т. Моисеева теория принятия решений
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории принятия решений 2
- •2. Классификация решений 5
- •4. Линейные модели задач принятия решений 16
- •5. Нелинейные модели задач принятия решений 42
- •6. Методы решения двухкритериальных задач принятия решений 53
- •1. Основные понятия теории принятия решений
- •2. Классификация решений
- •3. Общая математическая модель формирования оптимальных решений
- •3.1. Классификация математических моделей в задачах принятия решений
- •3.2. Краткая характеристика математических методов формирования оптимальных решений
- •4. Линейные модели задач принятия решений
- •4.1. Задача выбора оптимальной производственной программы предприятия
- •4.2. Распределительные задачи принятия решений
- •4.2.1. Задача распределения количества заказов по предприятиям
- •4.2.2. Задача распределения грузов по средствам доставки
- •4.2.3. Задача оптимизации перевозок однородного продукта
- •4.2.4. Метод минимальной стоимости для решения закрытой транспортной задачи
- •4.2.5. Задача о назначениях
- •4.3. Задача оптимального выбора
- •4.3.1. Задача о ранце
- •4.3.2. Задача оптимального выбора выполняемых работ
- •5. Нелинейные модели задач принятия решений
- •5.1. Задача о выборе геометрических размеров бака заданного объема
- •5.2. Задача оптимального размещения предприятий
- •5.3. Стохастическая модель выбора оптимальной производственной программы
- •5.4. Стохастическая модель стоимости товаров в торговых центрах
- •6. Методы решения двухкритериальных задач принятия решений
- •6.1. Решение двухкритериальной задачи о баке
- •6.2. Решение двухкритериальной стохастической задачи стоимости товаров в торговых центрах
- •Литература
4.2.5. Задача о назначениях
Пусть имеется работ и исполнителей (люди, оборудования и т.п.), которые могут выполнить любую из имеющихся работ, но должны быть назначены на выполнение одной и только одной работы. Требуется назначить конкретных исполнителей на выполнение конкретных работ так, чтобы эффективность их выполнения была максимальной.
Данная задача
является частным случаем КТЗ при
следующих значениях ее параметров:
,
,
,
.
Пусть известны
величины
эффективность выполнения
-ой
работы
-м
исполнителем (например, производительность).
Требуется провести назначение имеющихся
исполнителей заданным работам так,
чтобы суммарная эффективность была
максимальна. Построим ММ данной задачи,
рассмотрев три возможных случая.
1)
,
2)
,
3)
.
Введем в рассмотрение булевские переменные
,
,
. (4.33)
При этом, если в
результате решения получим
,
то на
-ю
работу направляется
-й
исполнитель. При
такое направление не производиться.
Исходя из свойства условий (4.33), суммарная
эффективность выполнения всех работ
всеми исполнителями записывается как:
. (4.34)
Это выражение является целевой функцией данной задачи, которая в конкретной ЗПР должна быть либо максимальна ( – производительность), либо минимальна ( – общее время или общая стоимость выполнения всех работ).
Рассмотрим различные частные случаи ММ.
1)
.
В этом случае имеют место условия:
каждая работа должна иметь своего одного исполнителя:
,
; (4.35)
каждый исполнитель должен быть назначен на одну работу:
,
. (4.36)
При решении
необходимо найти значение переменных
,
удовлетворяющих условиям (4.33), (4.35),
(4.36) и доставляющих
критерию оптимальности (4.34).
2)
.
Число выполняемых работ больше, чем
число исполнителей.
В этом случае
часть работ
не выполнима, но все исполнители должны
быть загружены выполнением своих работ.
,
;
(для m – n
значений i
)
(4.37)
, . (4.38)
Математическая модель ЗПР в данном случае определяется выражениями (4.34), (4.33), (4.37), (4.38).
3)
.
Здесь все работы должны иметь своих
исполнителей, но часть исполнителей (n
– m)
будет «безработными». Эти факты
формализуются следующим образом:
, ; (4.39)
,
.
(для m – n
значений j
)
(4.40)
Модель задачи оптимального назначения в данном случае определяется следующими выражениями (4.34), (4.33), (4.39), (4.40).
Рассмотренные выше модели относятся к классической постановке задачи о назначениях, в которой используется один критерий.
На практике возникают многокритериальные задачи о назначениях. Рассмотрим пример одной из таких задач, в которой в качестве критериев оптимальности принятия решений выступают:
Суммарные затраты на обучение исполнителей.
Суммарная прибыль от выполнения всего комплекса работ.
Введем обозначения:
–
затраты средств на обучение
-го
исполнителя на выполнение i-й
работы,
–
прибыль от выполнения i-й
работы j-м
исполнителем. Тогда критерии оптимальности
запишутся как:
(4.41)
Таким образом, мы получим двухкритериальные задачи о назначении:
(4.41), (4.33), (4.35), (4.36);
(4.41), (4.33), (4.37), (4.38);
(4.41), (4.33), (4.39), (4.40).
Пример №1. Пусть имеется три вида земляных работ и три экскаватора для их выполнения. Производительность каждого экскаватора при выполнении каждого вида из земляных работ приводится в таблице:
Работы Экскаваторы |
1 |
2 |
3 |
1 |
50 |
75 |
24 |
2 |
31 |
19 |
46 |
3 |
15 |
14 |
32 |
Требуется назначить экскаваторы на такие работы, чтобы суммарная производительность была максимальной.
Критерий оптимальности запишется следующим образом:
,
где хij означает – i-й экскаватор выполняет j-ю работу.
Ограничения – все экскаваторы заняты на всех работах:
В результате получено оптимальное решение
при котором целевая функция имеет максимальное значение:
Рmax = 75 + 31 + 32 = 138.
Рассмотрим случай, когда три экскаватора должны выполнить две работы (т = 2, п = 3), то есть в ходе решения задачи необходимо выяснить, какой экскаватор оставить без работы, а оставшиеся 2 выгодно распределить на 2 работы.
Критерий оптимальности в этом случае запишется следующим образом:
.
Ограничения – все работы обеспечены экскаваторами:
В результате получено оптимальное решение
при котором целевая функция имеет максимальное значение:
Рmax = 75 + 31 = 106.
Рассмотрим случай, когда два экскаватора должны выполнить три работы (т = 3, п = 2), то есть в ходе решения задачи необходимо выяснить, какая работа останется не выполненной, и какими экскаваторами будет выполнена каждая из оставшихся 2-х работ.
Критерий оптимальности запишется следующим образом:
.
Ограничения – все экскаваторы обеспечены работой:
В результате получено оптимальное решение
при котором целевая функция имеет максимальное значение:
Рmax = 75 + 46 = 121.
Пример №2. Пусть в некоторый момент времени на станцию скорой медицинской помощи (СМП) поступает вызовов. На дежурстве в данный момент времени имеется бригад (машин СМП). Требуется провести оптимальное назначение бригад на полученные вызовы, обеспечивающие минимальные затраты времени на перемещение ко всем больным всех бригад.
Пусть для каждого
i-го
вызова и каждой j-й
бригады с использованием электронной
карты города определены расстояния
,
которые должны пройти j-я
машина к i-му
больному. Далее с использованием АСУ
дорожного движения города получают
фактические значения скоростей
(
)
движения
автотранспорта для всей совокупности
маршрутов.
Тогда суммарные затраты времени на приезд бригад к местам вызовов определяются как
. (4.42)
В зависимости от соотношения чисел m и n в каждый момент времени могут использоваться ограничения:
а) (4.35) и (4.36) при m = n;
б) (4.37) и (4.38) при m > n;
в) (4.39) и (4.40) при m < n.
Практическое
решение в каждый момент времени может
быть различным в зависимости от
соотношения m
и n,
а также различных значений параметров
и
.