![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •15 Кафедра математического анализа
- •Глава 4. Элементы теории поля
- •§1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
- •§2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
- •§3. Поток векторного поля
- •§4. Циркуляция векторного поля
- •§5. Потенциальные и соленоидальные поля
- •Задания для самостоятельного решения:
- •5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
- •6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
- •7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
- •8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
- •9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
- •10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти градиент скалярного поля :
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
.
е)
.
ж)
.
2.
Найти градиент скалярного поля
в точке
:
а)
,
.
б)
,
.
в)
,
.
3. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:
а)
F
i
j
k.
б) F i j k.
в)
F
.
г)
F
.
д)
F
i
j
k.
е)
F
i
j
k.
ж)
F
i
j
k.
з)
F
i
j
k.
и)
F
i
j
k.
к)
F
i
j
k.
4. Вычислить поток векторного поля F через поверхность в сторону, определяемую нормалью n к поверхности , если:
а)
F
,
– часть цилиндра
,
заключенная между плоскостями
и
,
n
– внешняя нормаль.
б)
F
,
– часть плоскости
,
расположенная в первом октанте между
плоскостями
и
,
n
образует острый угол с осью
.
в)
F
,
– полусфера
,
расположенная в полупространстве
,
n
образует острый угол с осью
.
г)
F
,
– часть конуса
,
заключенная между плоскостями
и
,
n
образует тупой угол с осью
.
д)
F
,
– поверхность пирамиды, ограниченной
плоскостями
,
,
,
.
е)
F
,
– часть сферы
,
расположенная в первом октанте, n
– внешняя нормаль.
ж)
F
i
j
k,
– часть параболоида
,
заключенная между плоскостями
и
,
n
образует тупой угол с осью
.
5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
а)
F
,
– полная поверхность цилиндра
,
,
.
б)
F
i
j
k,
– полная поверхность призмы, ограниченной
плоскостями
,
,
,
,
.
в)
F
i
j
k,
– полная поверхность пирамиды,
ограниченной плоскостями
,
,
,
.
6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
а)
F
,
L
– ломанная АВА,
где
,
,
кривая
– кусок параболы
,
а
– отрезок прямой.
б)
F
,
L
– граница квадрата
,
.
в)
F
,
L
– ломанная АВС,
где
,
,
.
г)
F
,
L
– кардиоида:
,
в сторону увеличения параметра.
7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
а)
F
,
L
– окружность, параметрические уравнения
которой:
,
,
,
направление обхода – в сторону увеличения
параметра
.
б)
F
,
L
– окружность, получающаяся пересечением
сферы
и плоскости
,
направление обхода – против часовой
стрелки, если смотреть с конца оси
.
в)
F
,
L
– контур треугольника АВС,
,
,
.
г)
F
,
L
– ломанная АВС,
где
,
,
.
д)
F
,
L
– окружность:
,
.
е)
F
i
j
k,
L
– контур треугольника АВС,
,
,
.
8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
а)
F
i
j
k.
б)
F
i
j
k.
в)
F
i
j
k.
г) F i j k.
9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
а)
F
i
j
k.
б)
F
i
j
k.
в)
F
i
j
k.
10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
а)
F
i
j
k.
б)
F
i
j
k.
в)
F
i
j
k.
Сыктывкарский государственный университет