![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •15 Кафедра математического анализа
- •Глава 4. Элементы теории поля
- •§1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
- •§2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
- •§3. Поток векторного поля
- •§4. Циркуляция векторного поля
- •§5. Потенциальные и соленоидальные поля
- •Задания для самостоятельного решения:
- •5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
- •6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
- •7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
- •8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
- •9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
- •10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
§4. Циркуляция векторного поля
Пусть
F
i
j
k
– векторное поле, заданное в некоторой
области
,
и функции
,
,
– непрерывно дифференцируемые в области
.
Пусть L
– гладкая кривая, расположенная в
области
.
Криволинейный интеграл
|
(4) |
называется работой векторного поля F вдоль кривой L.
В случае если L – замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L.
Таким образом, циркуляция поля F равна:
Ц
.
В
случае когда векторное поле F
– плоское, его циркуляция вдоль замкнутой
кривой L
задается интегралом:
Ц
.
Формула Стокса
Теорема
(Стокс).
Пусть
– гладкая ориентируемая поверхность,
а L
– замкнутая гладкая кривая, являющаяся
границей поверхности
.
Пусть n
– единичная нормаль к поверхности
,
задающая одну из ее сторон. Пусть
векторное поле F
– непрерывно дифференцируемо на
и L.
Тогда
|
(5) |
причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца вектора n оно происходит против часовой стрелки.
Левый интеграл в формуле (5) представляет собой циркуляцию векторного поля F вдоль контура L, а правый – поток ротора этого поля через поверхность . Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме:
rot
F·n
(rot
F)n
,
т.е. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность равен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в положительном направлении).
В
случае, когда векторное поле F
– плоское, формула Стокса принимает
вид формулы Грина:
.
Формулу
Стокса применяют для вычисления
циркуляции векторного поля. Однако
следует помнить, что для того, чтобы
можно было применить формулу Стокса к
контуру
,
необходимо, чтобы область
,
в которой лежит
была поверхностно односвязной.
Область называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура , найдется поверхность , границей которого является контур L.
Пример 1. Найти циркуляцию плоского векторного поля F по замкнутой кривой L в положительном направлении:
F
, L – окружность, задаваемая уравнением
;
F
, L – контур треугольника
, где
,
,
.
Решение.
а) Запишем параметрические уравнения
окружности:
,
,
.
Находим
,
.
Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:
Ц
.
б) Первый способ.
Контур
L
есть объединение отрезков
,
и
.
Поэтому циркуляция поля F
вдоль кривой L
будет равна:
Ц
.
Вычислим
каждый из интегралов. Вдоль отрезка
имеем
и, стало быть,
.
Следовательно,
.
Вдоль
отрезка
имеем
и
.
Поэтому
.
И
вдоль отрезка
имеем
и
.
Следовательно,
Таким
образом, циркуляция поля F
вдоль контура L
будет равна: Ц
Второй способ.
Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина:
Ц
,
где
областью D
является треугольник
.
В нашем случае
,
.
Следовательно,
,
.
Тогда циркуляция поля F
вдоль контура L
будет равна
Ц
.
Пример
2.
Вычислить циркуляцию пространственного
векторного поля F
i
j
k
вдоль эллипса L,
получающегося пересечением цилиндра
с плоскостью
(при взгляде с положительного направления
оси
обход контура L
совершается против часовой стрелки).
Первый способ.
Запишем
параметрические уравнения эллипса:
,
,
.
При изменении параметра
от
до
получаем требуемое направление обхода
контура L.
Вычислим теперь циркуляцию:
Ц
.
Второй способ.
Вычислим
циркуляцию, применив формулу Стокса,
причем в качестве поверхности
,
ограничиваемой кривой L,
выберем часть плоскости
,
лежащей внутри цилиндра
.
Единичную нормаль к плоскости выберем
так, чтобы, глядя с ее конца, направление
обхода контура L
проходило против часовой стрелки. Такой
единичной нормалью будет вектор n
.
По формулу Стокса имеем:
Ц
rot
F·n
.
Вычисление
последнего интеграла сведем вычислению
двойного интеграла по области
,
являющейся проекцией поверхности
на плоскость
.
Этой областью будет круг
.
Поскольку
,
то окончательно получаем:
Ц=
.
Контрольные вопросы:
Дайте определение работы векторного поля F вдоль кривой L.
Дайте определение циркуляции векторного поля F вдоль кривой L.
Приведите формулу Стокса.
Дайте определение поверхностно односвязной области.