§5. Потенциальные и соленоидальные поля

Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т.е. F = grad U .

В случае если поле F потенциально, выполняются равенства

, , ,

что равносильно тому, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Эта функция называется потенциалом векторного поля F.

Теорема. Пусть область поверхностно односвязна и функции – непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:

, , .

Приведенная теорема утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т.е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл

не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области , а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.

.

Если поле F потенциально, то его потенциал U можно найти непосредственным интегрированием по некоторому пути :

.

При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной , вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:

,

где каждый из интегралов – есть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные играют роль констант.

Если потенциал векторного поля F известен, то

.

Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т.е. F rot A A. Поле А называется векторным потенциалом поля F.

Теорема. Пусть область пространственно односвязна и координаты векторного поля непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F соленоидально в том и только в том случае, когда

div F

в каждой точке области .

Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Пример. Показать, что поле F i j k потенциально и найти его потенциал.

Покажем, что rot F = 0.

rot F i j k i j k 0.

Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал поля F непосредственным интегрированием.

Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную точку . Тогда

.

Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной , где отрезок параллелен оси , отрезок – оси , а отрезок – оси . Вдоль имеем и , а, следовательно, , вдоль уже – постоянно и , откуда , а вдоль обе переменные, и – постоянны, а, значит, . Тогда

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение потенциального векторного поля F.

2. Какие равенства выполняются, когда поле F потенциально?

3. Дайте определение соленоидального векторного поля F.

4. Приведите необходимое и достаточное условие того, что векторное поле F соленоидально.