§4. Циркуляция векторного поля

Пусть F i j k – векторное поле, заданное в некоторой области , и функции , , – непрерывно дифференцируемые в области . Пусть L – гладкая кривая, расположенная в области .

Криволинейный интеграл

(4)

называется работой векторного поля F вдоль кривой L.

В случае если L – замкнутая кривая, то криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля F вдоль кривой L.

Таким образом, циркуляция поля F равна:

Ц .

В случае когда векторное поле F – плоское, его циркуляция вдоль замкнутой кривой L задается интегралом:

Ц .

Формула Стокса

Теорема (Стокс). Пусть – гладкая ориентируемая поверхность, а L – замкнутая гладкая кривая, являющаяся границей поверхности . Пусть n – единичная нормаль к поверхности , задающая одну из ее сторон. Пусть векторное поле F – непрерывно дифференцируемо на и L. Тогда

(5)

причем направление обхода контура L выбрано так, что при взгляде с конца вектора n оно происходит против часовой стрелки.

Левый интеграл в формуле (5) представляет собой циркуляцию векторного поля F вдоль контура L, а правый – поток ротора этого поля через поверхность . Поэтому формулу Стокса удобно записывать в векторной форме:

rot F·n (rot F)_{n ,}

т.е. поток ротора векторного поля F через ориентированную поверхность равен циркуляции поля F вдоль контура L этой поверхности (проходимого в положительном направлении).

В случае, когда векторное поле F – плоское, формула Стокса принимает вид формулы Грина:

.

Формулу Стокса применяют для вычисления циркуляции векторного поля. Однако следует помнить, что для того, чтобы можно было применить формулу Стокса к контуру , необходимо, чтобы область , в которой лежит была поверхностно односвязной.

Область называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура , найдется поверхность , границей которого является контур L.

Пример 1. Найти циркуляцию плоского векторного поля F по замкнутой кривой L в положительном направлении:

1. F , L – окружность, задаваемая уравнением

;

2. F , L – контур треугольника , где , , .

Решение. а) Запишем параметрические уравнения окружности: , , . Находим , .

Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:

Ц

.

б) Первый способ.

Контур L есть объединение отрезков , и . Поэтому циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:

Ц .

Вычислим каждый из интегралов. Вдоль отрезка имеем и, стало быть, . Следовательно,

.

Вдоль отрезка имеем и . Поэтому

.

И вдоль отрезка имеем и . Следовательно,

Таким образом, циркуляция поля F вдоль контура L будет равна: Ц

Второй способ.

Вычислим циркуляцию, применив формулу Грина:

Ц ,

где областью D является треугольник . В нашем случае , . Следовательно, , . Тогда циркуляция поля F вдоль контура L будет равна

Ц .

Пример 2. Вычислить циркуляцию пространственного векторного поля F i j k вдоль эллипса L, получающегося пересечением цилиндра с плоскостью (при взгляде с положительного направления оси обход контура L совершается против часовой стрелки).

Первый способ.

Запишем параметрические уравнения эллипса: , , . При изменении параметра от до получаем требуемое направление обхода контура L. Вычислим теперь циркуляцию:

Ц

.

Второй способ.

Вычислим циркуляцию, применив формулу Стокса, причем в качестве поверхности , ограничиваемой кривой L, выберем часть плоскости , лежащей внутри цилиндра . Единичную нормаль к плоскости выберем так, чтобы, глядя с ее конца, направление обхода контура L проходило против часовой стрелки. Такой единичной нормалью будет вектор n . По формулу Стокса имеем:

Ц rot F·n

_.

Вычисление последнего интеграла сведем вычислению двойного интеграла по области , являющейся проекцией поверхности на плоскость . Этой областью будет круг . Поскольку , то окончательно получаем:

Ц= .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение работы векторного поля F вдоль кривой L.

2. Дайте определение циркуляции векторного поля F вдоль кривой L.

3. Приведите формулу Стокса.

4. Дайте определение поверхностно односвязной области.