Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сыктывкарский Государственный Университет им. Питирима Сорокина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

криволинейные интегралы.rtf

Скачиваний:

Добавлен:

13.08.2019

Размер:

37.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

§2. Криволинейный интеграл второго рода

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на кривой определены две ограниченные функции и . Разобьем кривую на п равных частей точками , , …, , , …, . На каждой из полученных дуг возьмем произвольную точку . Обозначим через и проекции дуги на оси координат. Затем составим интегральную сумму для функции [ ]:

Пусть d – наибольшая из длин дуг . Если функция ( ) непрерывна в точках кривой , то при существует предел интегральных сумм, не зависящий от способа разбиения кривой на части и выбора точек . Этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции [ ] по кривой и обозначается

Сумму криволинейных интегралов

называют полным криволинейным интегралом второго рода.

Криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. В частности,

т. е. криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Предположим, что кривая задана в явном виде непрерывно дифференцируемой функцией , . Тогда

Если задается параметрическими функциями , , , то

Это равенство можно распространить и на пространственный случай (аргументы функций P, Q, R для краткости опускаем):

где , , , - параметрические уравнения кривой .

Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл

можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qj и ds=i·dx+j·dy:

В таком случае

выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки вдоль кривой от точки А до точки В.

При А= В кривая замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой обозначается так:

В этом случае направление обхода контура поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.

Предположим, что в плоскости имеется односвязная область , ограниченная кривой ( -обозначение границы области ), а в области и на границе функции и непрерывны вместе со своими частными производными.

Теорема. Пусть А и В – произвольные точки области , и - два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 32). Тогда следующие условия равносильны:

1. (условие Грина).

2. (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

3. (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).

4. (выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

Рис. 32.

В случае выполнения любого из равносильных условий теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки и из области , можно вычислить при помощи формулы Ньютона – Лейбница

где - некоторая первообразная для может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

В этих же условиях на функции и , а также на область , имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

Считаем, что обход границы области в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.

Также площадь области может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второго рода:

Пример 1. Даны функции , и точки , , . Вычислить криволинейный интеграл

где:

1) - отрезок ОА;

2) - ломаная ОВА;

3) - ломаная ОСА;

4) - парабола, симметричная относительно оси и проходящая через точки О и А;

5) проверить выполнимость условия Грина.

Рис. 33.

Пути интегрирования, соответствующие пунктам 1) – 4), изображены на рис.33.

1) Отрезок ОА может быть записан в виде: , . Тогда и

2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам и . Тогда:

а) : здесь , , т.е. , откуда

б) : , , т. е. , и

Таким образом,

3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.

а) : , (т. е. ), , откуда

б) : , , , следовательно,

Окончательно

4) Подставим координаты точки в равенство найдем уравнение данной параболы При этом и , откуда (путь ОА по параболе обозначим )

5) Имеем

, ,

т. е. условие Грина не выполняется. Вычисления в пунктах 1) – 3) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.

Пример 2. Вычислить интеграл

где - верхняя половина эллипса , пробегаемая по ходу часовой стрелки.

Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: , , , т. е. , . Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что меняется от π до 0), получаем

Пример 3. Вычислить

по дуге винтовой линии при изменении от 0 до .

Сначала найдем дифференциалы переменных: .

Выразим подынтегральное выражение через , сводя исходный интеграл к

определенному:

Пример 4. Показать, что интеграл

не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки и , и вычислить его.

Проверим условие Грина. Положим , . Тогда ,и, значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем отрезок, соединяющий точки O и B . Отрезок OB можно задать так: , . При этом , и интеграл легко сводится к определенному интегралу.

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

где L – отрезок, соединяющий точку с точкой .

Составим параметрические уравнения отрезка CD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:

Отсюда , , , . Далее, находим , , , подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:

Пример 6. Проверить, является ли выражение

полным дифференциалом некоторой функции и если да, то найти эту функцию.

Обозначим . Тогда

Таким образом, условие Грина имеет место при .

Следовательно, данное выражение есть полный дифференциал некоторой функции , которая может быть найдена как криволинейный интеграл

где - произвольная фиксированная точка плоскости , не лежащая на оси (так как ). Положим , а в качестве пути интегрирования выберем путь , изображенный на рис. 34.