2. Теоремы двойственности и их экономическое содержание.

Основное неравенство двойственности: Для любых допустимых решений X и Y пары двойственных задач ЛП справедливо неравенство:

или .

Экономически это означает, что для любого допустимого плана производства и любого допустимого вектора оценок ресурсов стоимость изготовленного продукта не превосходит оценки ресурсов.

Теорема существования (или малая теорема двойственности): Чтобы прямая и двойственная задачи имели оптимальное решение, необходимо и достаточно, чтобы существовали допустимые решения для каждой из них.

Первая основная теорема двойственности: если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая его имеет. Причем экстремальные значения их целевых функций равны. Если же целевая функция одной из задач не ограничена, то система ограничений другой противоречива.

Если цена реализации единицы продукции задается вышестоящими организациями, то y_i называют внутренней оценкой ресурса. В этих терминах первая теорема двойственности интерпретируется следующим образом: допустимый план производства и вектор оценок ресурсов оказываются оптимальными тогда, когда объем реализации продукции, измеренный во внешних ценах, будет равен оценке всех ресурсов во внутренних ценах y_i. В этом случае двойственные оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов.

Требуется:

1) определить оптимальный план выпуска продукции, доставляющий предприятию максимум прибыли;

2) составить двойственную задачу.

Между переменными прямой и двойственной задачи можно установить следующее взаимно однозначное соответствие

и .

Получить решение двойственной задачи можно из последней симплексной таблицы прямой задачи. Если прямая задача решается на максимум, то оптимальное решение двойственной соответствует оценкам индексной строки в последней симплексной таблице прямой задачи, т.е. , . Если прямая задача решается на минимум, то оптимальное решение двойственной соответствует оценкам индексной строки взятыми с противоположным знаком, т.е. , .

Вторая теорема двойственности (о дополняющей нежесткости): чтобы допустимые решения X и Y пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнить условия:

,

т.е. если какое-либо ограничение одной задачи обращается ее оптимальным планом в строгое неравенство, то соответствующая переменная двойственной ей задачи в ее оптимальном плане равна нулю; если же какая-либо переменная оптимального решения одной задачи положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом обращается в точное равенство:

если , то ;

если , то .

Аналогично,

если , то ;

если , то .

Отсюда следует, что оценки оптимального плана – это мера дефицитности ресурсов. Ресурсы 1-й, 2-й и 4-й являются дефицитными, 3-й ресурс – недефицитный.

Критерий оптимальности Канторовича: Чтобы допустимые решения X и Y пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы значения целевых функций для них совпадали, т.е. z(x)=f(y).

Предположим, что величины ресурсов b_i могут изменяться. Возникает вопрос, при каких приращениях правых частей ограничений найденный оптимальный план Х^* не изменяется и как эти приращения сказываются на экстремальном значении целевой функции.

Третья теорема двойственности: Значения переменных y_i в оптимальном решении равны изменению целевой функции при малом изменении соответствующего ограничения ресурса:

.

Если принять и , то получим . Тогда при получим . Поэтому величина двойственной оценки численно равна изменению целевой функции при изменении соответствующего ресурса на единицу.

Чем выше величина оценки y_i, тем острее дефицитность i-го ресурса.

Необходимо отметить, что ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется закупка. в данном случае речь идет о некоторой мере (мерке), имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурсов только относительно полученного оптимального решения.

Возникает вопрос – возможна ли замена одного ресурса другим.

Коэффициент взаимозаменяемости – показывает, сколько единиц ресурса i необходимо дополнительно приобрести, чтобы компенсировать уменьшение ресурса j на единицу:

.