1.Понятие и состав модели, постановка оптимизационной задачи.
Методы оптимизации являются частью дисциплины исследование операций.
Исследование операций представляет собой комплекс научных методов для решения задач эффективного управления организационными системами.
Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены. Следовательно, цель исследования операций – количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.
При решении конкретной задачи управления предполагается:
- построение экономических и математических моделей для принятия решений в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;
- изучение взаимосвязей исследуемой системы и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущества того или иного варианта действия.
Критериев может быть много, тогда задача становится многокритериальной. Существуют методы решения многокритериальных задач, но можно привести многокритериальную задачу к однокритериальной. Для этого один из критериев выбирается в качестве первичного, а остальные становятся вторичными. Первичный критерий используется как характеристический, а вторичные формируют ограничения задачи.
Для применения методов оптимизации (количественных методов) требуется построить математическую модель. Модель представляет собой отражение реального объекта или процесса. В общем случае под термином «модель» понимается сложный объект, элементам которого можно поставить в соответствие элементы оригинала. При построении модели операция упрощается, схематизируется и схема операции описывается с помощью математического аппарата. Процесс построения модели называется моделированием.
Функцию, экстремальное значение которой необходимо найти в условиях экономических возможностей, называют целевой функцией, показателем эффективности или критерием оптимальности.
В общем виде математическая модель состоит из:
- совокупности неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи или вектором управления;
- целевой функции. Целевая функция позволяет выбрать наилучший вариант из множества возможных;
- системы ограничений, налагаемых на неизвестные величины. Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми объект располагает в рассматриваемый период времени (ресурсы могут быть материальными, трудовыми и финансовыми).
Постановка задачи оптимизации.
Заданы множество
и функция
,
определенная на множестве
,
требуется найти точки минимума или
максимума.
Запишем задачу на
минимум в виде:
где
- целевая функция;
- допустимое множество;
- допустимая точка задачи.
Точка
,
являющаяся решением задачи
может
быть точкой глобального или локального
минимума.
Точка называется
1) точкой глобального
минимума функции
на множестве
или глобальным решением задачи , если
(0)
2) точка х* называется точкой локального минимума, если существует некоторая окрестность этой точки, в любой точки которой значение функции больше, чем в x* - f(x)>f(x*) (3).
Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.
Проиллюстрируем на рисунке понятия локального и глобального оптимума для функции одной переменной.
Для отражения того
факта, что точка
является
точкой глобального минимума функции
на множестве
,
обычно используется запись
или эквивалентная
ей запись 
.
Множество всех
точек глобального минимума
на
,
обозначают через
,
где
-
минимальное значение функции
на множестве
.
В этом случае
- это просто произвольная точка из
множества
Решения оптимизационных задач, то есть точки минимума и максимума функции на множестве , называются также точками экстремума, а сами задачи - экстремальными задачами.
Для применения теории оптимизации к решению конкретных задачи нужно выполнить определённую последовательность действий, которая называется постановкой задачи оптимизации. Она включает этапы:
1 установление границ подлежащей оптимизации системы;
2 выбор количественного критерия, позволяющего выявить наилучший вариант (характеристического критерия);
3 определение внутрисистемных переменных, через которые выражается характеристический критерий;
4 построение модели, которая описывает взаимосвязь внутрисистемных переменных.