2. Симплексный метод: построение начального опорного плана, предпочтительный вид.

Пусть поставлена задача: найти минимальное значение целевой функции

при канонических ограничениях:

.

Ограничение имеет предпочтительный вид, если при неотрицательной правой части (b_i ≥ 0) левая содержит переменную, входящую в данное уравнение с коэффициентом, равным единице, а в остальные ограничения-равенства с коэффициентом, равным нулю.

Приравнивание предпочтительных переменных к правым частям дает базисное решение, то они называются базисными. Все остальные переменные, значения которых приравниваем к нулю, называются свободными.

При приведении системы ограничений к предпочтительному виду возможны два случая.

1) пусть задана система:

Добавив к левым частям дополнительные переменные , получим расширенную задачу эквивалентную исходной.

Но в расширенной задаче система ограничений имеет предпочтительный вид, следовательно, начальный опорный план: .

В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами, равными нулю:

2) задана систему ограничений:

Вычитая из левых частей дополнительные переменные , получим расширенную задачу. Однако система ограничений не имеет предпочтительного вида, так как дополнительные переменные входят в левую часть с коэффициентами, равными минус единице. Поэтому план недопустим. В этом случае вводят так называемый искусственный базис. К левым частям системы ограничений-равенств, не имеющих предпочтительного вида, добавляют искусственные переменные W_i. В целевую функцию W_i вводят с коэффициентом, равным (+М) в случае решения задачи на min, и с коэффициентом (-М) – на max, где М – большое положительное число. Полученная задача называется М-задачей.

М-задача формируется и в случае, когда ЗЛП задана в канонической форме, но не имеет предпочтительного вида.

Пусть дана задача линейного программирования:

Если ни одно из ограничений не имеет предпочтительного вида, то М-задача запишется:

Где знак (-) в относится к задаче на max. Начальный опорный план задачи: .

Если в оптимальном плане М-задачи все искусственные переменные равны нулю, то план оптимален для исходной задачи. Если же хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна.

2. Симплексный метод: симплексные таблицы, признак оптимальности опорного плана.

Для решения задач обычно условия заносят в таблицу, которая называется симплексной. Перед занесением систему ограничений приводят к предпочтительному виду.

Пример.

при ограничениях

.

Система ограничений данной задачи имеет предпочтительный вид. Составим симплексную таблицу.

Б.п.	СБ	А0	х1	х2	х3	х4	х5
			2	-1	3	-2	1
х2	-1	3/2	0	1	1/2	0	1/2
х4	-2	2	0	0	1	1	0
х1	2	1/2	1	0	-1/2	0	1/2
Целевая функция		-9/2	0	0	-13/2	0	-1/2

; .

Находим начальный опорный план ,

Обозначим через Б множество базисных переменных, через В- множество свободных переменных. Очевидно, при , . Значения , называются оценками свободных переменных.

Признак оптимальности опорного плана:

1) Опорный план доставляет целевой функции минимальное значение , если для него все оценки свободных переменных неположительны.

2) Опорный план доставляет целевой функции максимальное значение , если все оценки свободных переменных неотрицательны.

Строка функции цели называется Z-строкой или индексной строкой. Начальный опорный план Х₀=(1/2;3/2;0;2;0) и Z(Х₀)=-9/2. Т.к. все оценки индексной строки неположительны, то план Х₀ - оптимален.