Тема 2.1. Методы математического программирования

Цель изучения темы:  получить представление о видах математического программирования

• классификация методов математического программирования

Выше уже упоминалось о самых простых - детерминированных и одно-целевых задачах, исследованием которых занимается математическое программирование. Слово программирование в данном случае означает "планирование". К математическому программированию относится:

1. Линейное программирование: состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные;

2. Нелинейное программирование: целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями;

3. Особым случаем в задачах линейного и нелинейного программирования является случай, когда на оптимальные решения накладывается условие целочисленности. Такие задачи относятся к целочисленному прогаммированию;

4. Динамическое программирование: для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом;

5. Теория графов: с помощью теории графов решаются многие сетевые задачи, связанные с минимальным протяжением сети, построение кольцевого маршрута и т.д.

Тема 2.2. Сущность линейного программирования

Цель изучения темы: получить представление о задачах линейного программирования

• математическая модель

• примеры

Линейное программирование - это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

• максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

• систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

• требование неотрицательности переменных.

Пример № 1

Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м² досок, а для модели В - 4 м². Фирма может получать от своих поставщиков до 1700 м² досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. машинного времени, а для изделия модели В - 30 мин. В неделю можно использовать 160 часов машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В - 4 дол. прибыли?

Построение математической модели.

Пусть x₁ - количество выпущенных за неделю полок модели А, а x₂ - количество выпущенных полок модели В. Тогда:

3x₁ - количество досок требуемых на неделю для изготовления полок модели А

4x₂- количество досок требуемых на неделю для изготовления полок модели В

3x₁ + 4x₂- количество досок требуемых на неделю для изготовления книжных полок двух моделей, а по условию задачи это число не должно превышать 1700 м², следовательно, получаем первое ограничение:

3x₁+ 4x₂<=1700 (1)

Найдем ограничение на использование машинного времени.

12 мин. составляют 0,2 часа, а 30 мин. - 0,5 часа, таким образом:

0,2x₁ - количество времени, требуемое на неделю для обработки полок модели А;

0,5x₂ - количество времени, требуемое на неделю для обработки полок модели В;

0,2x₁ + 0,5x₂ - количество времени, требуемое на неделю для обработки двух моделей, а по условию задачи это число не должно превышать 160 часов, следовательно, получаем второе ограничение:

0,2x₁ + 0,5x₂<=160 или 2x₁ + 5x₂<=1600 (2)

Кроме того, поскольку x₁ и x₂ выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательными, то есть

x₁>=0, x₂>=0 (3)

Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения x₁ и x₂, при которых еженедельная прибыль будет максимальной. Составим выражение для еженедельной прибыли:

2x₁ - еженедельная прибыль, получаемая от продажи полок модели А

4x₂ - еженедельная прибыль, получаемая от продажи полок модели В

F=2x₁ + 4x₂ - еженедельная прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем следующую математическую модель для данной задачи.

F=2x₁ + 4x₂->max

Полученная модель является задачей линейного программирования. Функция F - это целевая функция, она является линейной функцией своих переменных(x₁ и x₂). Ограничения на эти переменные (1) и (2) тоже являются линейными. Выполнено условие неотрицательности для переменных x₁ и x₂.

Необходимо найти значения переменных x₁ и x₂, при которых данная функция F принимает максимальное значение, при соблюдении ограничений, накладываемых на эти переменные.

Решения, удовлетворяющие системе ограничений и требованием неотрицательности, являются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованием минимизации (максимизации) функции в целом являются оптимальными.