Нахождение решения двойственной задачи по симплекс-таблице оптимального решения прямой задачи.

Предположим, что найден оптимальный план X^* прямой задачи, который (не ограничивая общности) определяется системой базисных векторов A_i1,…A_im. Через С^*_Б – обозначим вектор, состоящий из коэффициентов целевой функции при базисных переменных оптимального решения.

Через P^-1 обозначим матрицу, обратную матрице P, составленную из компонент векторов A_i1,…A_im оптимального базиса.

Теорема 6.4:

Если прямая задача имеет оптимальный план X*=(X ,…X ), то оптимальный план двойственной задачи Y*=С^*_Б P^-1.

Практически: решение двойственной задачи находится в симплекс-таблице оптимального решения прямой на пересечении индексной строки и векторов исходного базиса прямой задачи.

Экономическая интерпретация двойственности.

Рассмотрим следующую ситуацию: имеется m видов ресурсов в объемах B₁,…B_m. И на основании этих ресурсов предполагается выпускать продукцию n различными способами. При этом за единицу времени применения j-ого способа расходуется a_ij единиц i-того вида ресурса. И выпускаемая при этом продукция имеет ценность C_j – единиц. Как оценить имеющиеся ресурсы?

Пусть вектор x=(x₁,…x_n), компоненты которого есть время использования j- ого способа производства (x_j 0). Тогда a_ijx_j B.

Через Z= c_jx_j обозначим ценность продукции, выпускаемой при использовании плана x. Если yi – оценка единицы i-того вида ресурсов, то a_ijy_i – оценка всех ресурсов, расходуемых в единицу времени при использовании j-огоспособа производства. Эта величина не может быть меньше ценности выпускаемой при тех же условиях продукции. Величина W(Y)= b_iy_i – оценка всех используемых ресурсов при выбранном векторе оценок Y =(y₁….. y_n)

Для _любого X и Y ценность выпускаемой продукции не превосходит суммарной оценке имеющихся ресурсов: Z(X) W(Y) величина (X,Y)=W(Y)-Z(X) характеризует производственные потери в зависимости от плана X и выбранных оценок ресурсов Y.

X и Y надо выбирать так, чтобы величина потерь была наименьшей, а для этого достаточно подобрать план так, чтобы Z(X) было как можно больше, а W(Y) было как можно меньше, поэтому и возникает пара двойственных симметричных задач.

Из первой теоремы двойственности следует, что оптимальному вектору решений задачи планирования и оптимальному вектору оценок ресурсов производственные потери равны 0.

Из второй теоремы двойственности следует следующее соотношение:

Если y >0, то a_ijx =B_i (*)

Если a_ijx <B_i, то y =0

Если x >0, то a_ijy =c_j (**)

_Если a_ijy ≥c_j x =0

Условие (*) интерпретируется следующим образом:

1. Если в оптимальном плане оценка i-того вида ресурса положительна, то этот ресурс используется полностью в полученном оптимальном плане прямой задачи.

2. Если ресурс используется не полностью в оптимальном плане, то его оценка равна 0. Оценка превращается в цену единицы ресурса лишь при условии, когда ресурс становится дефицитным в полученном оптимальном плане.

Из условия (**) следует:

1. Если производство j-ого вида продукции включено в оптимальный план, то он в оптимальных оценках не убыточен (цена его реализации совпадает с затратной оценкой). Затратной оценкой называется оценка всех ресурсов, затраченных на производство единицы j-вида продукции.

2. Если j-вид продукции убыточен, то в оптимальном плане его производство не предусмотрено.