определение момента инерции с помощью маятника обербека

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

5 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Ц е л ь р а б о т ы - исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Общие сведения

В основе эксперимента лежит основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

где М - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси; - угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

М о м е н т с и л ы о т н о с и т е л ь н о т о ч к и О определяется как векторное произведение

М = , r F

где F - сила, r - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы. М о м е н т с и л ы о т н о с и т е л ь н о о с и в р а щ е н и я есть проекция М на

произвольную ось z, которая проходит через точку О:

М о м е н т и н е р ц и и т е л а является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

Рис.1 оси вращения; - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом,

задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Из формулы (1) следует, что угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально моменту внешних сил М и обратно пропорционально моменту инерции J. Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил М, ни от углового ускорения.

Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться в нужном положении (рис.2 ). Крестовина с грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К ее концу привязана гирька, момент силы

1

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

где rо - радиус шкива. Из уравнений (1)-(3) можно получить

Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением = а/r0 , то формулу

(4) можно записать в виде

Порядок выполнения работы

Перед началом измерений следует на вертикальной линейке установить две подвижные рамки на расстоянии друг от друга h (в пределах 50-100 см) и измерить радиус шкива r0.

Последовательность проведения измерений следующая:

1)установить грузы на стержнях на максимальном расстоянии от оси вращения и закрепить их;

2)намотать нить на шкив, установив подвешенный груз на уровне верхней рамки;

3)отпустить груз и измерить время t его движения до нижней рамки (взять не менее трех отсчетов t и вычислить t );

4)сместить грузы на стержнях на одно деление к центру и повторить пп.1-3, измерить расстояние r от оси вращения до центра масс груза;

5)повторить пп.4 для 8-10 положений грузов.

Результаты измерений удобно представить в виде табл.1.

Таблица 1

2

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

__________________

П р и м е ч а н и е . Jэ рассчитывается по формуле (6).

Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой m , если считать грузы материальными точками

где J0 - момент инерции тела при r = 0.

Из формулы (7) следует, что J = f(r2). Следовательно, если построить график этой функции в координатах J - r2, то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать оси ординат в некоторой точке, соответствующей J0. Такое построение можно сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдения позволяют сделать такое построение достаточно точным. Наиболее просто это можно сделать, с помощью метода наименьших квадратов, вычислив J0 и m .

Для удобства перепишем формулу (7) в виде

где r2 = х и 4m' = b. Метод наименьших квадратов позволяет найти J0 и b:

Рассчитав J0 и b по формулам (9), следует построить зависимость J от x по формуле

(8). Так как через две точки можно провести только одну прямую, то для построения этой прямой можно взять какие-нибудь две удобные точки. Далее по формуле (8) рассчитать момент инерции Jp для каждого опыта, заполняя последний столбец табл.1.

Среднее квадратичное отклонение

3

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

По данным опыта и расчетов следует построить график функции в координатах J - r2 (8), полученный методом наименьших квадратов, и вычислить доверительный интервал

измерения момента инерции в границах Jэ J и Jэ J .

Контрольные вопросы

1.Что такое момент инерции? От чего он зависит? Как можно рассчитать момент инерции?

2.В чем заключается основное уравнение динамики вращательного движения? Что такое момент силы?

3.Что должно измениться в формуле (6), если изменить массу груза m и радиус шкива

r0?

4.Как выглядит график зависимости момента инерции в координатах J - r2; J - r?

Почему результаты опыта лучше обрабатывать в координатах J - r2 ?

5.Почему график зависимости J = f (r2) не проходит через начало координат? Какой смысл имеет величина J0 ?

6.Какой смысл имеет тангенс угла наклона графика к горизонтальной оси?

4