Операция «если-то» — логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→В.
Таблица истинности:
А |
В |
Если А, то В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Пример:
Рассмотрим два высказывания: А {х делится на 9}, В {х делится на 3}. Операция А -» В означает следующее: «Если число делится на 9, то оно делится и на 3». Рассмотрим возможные варианты:
А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). Например, х = 4, 17, 22.
А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). Например, х = 6, 12, 21.
А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3.
А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). Например, х = 9, 18, 27.
Операция «а тогда и только тогда, когда в» (эквивалентность, равнозначность)
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Применяемое обозначение: А ~ В.
Таблица истинности:
А |
В |
А~В |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Пример
«День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом».
3. Составление таблиц истинности по логической формуле
Правила:
1) Дизъюнкция (логическое сложение): если среди слагаемых есть хотя бы одно истина (1), то результат не может быть ложным:
А+1 = 1.
2) Конъюнкция (логическое умножение): если среди сомножителей есть хотя бы один ложный (0), то результат ложь (0):
А•0=0.
Пример 1.
Дано логическое выражение А•В. Требуется построить таблицу истинности. Выражение содержит две операции: отрицание и конъюнкцию.
По правилам приоритетного выполнения операций сначала следует определить отрицание для всех возможных значений, которые может принимать В. Затем можно применить операцию конъюнкции для полученных значений с высказыванием А.
Построим таблицу
истинности. Сначала заполним столбцы
значениями для аргументов А и В. Затем
заполним столбец значениями
,
Результат заданного логического
выражения отражен в последнем столбце.
А |
В |
|
А• |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Пример 2.
Дано логическое выражение (А + В)С. Требуется построить таблицу истинности.
Логическое выражение содержит три высказывания А, В, С. Значит, таблица истинности будет содержать 23= 8 строк возможных сочетаний значений исходных высказываний (аргументов) А, В и С. Первые три столбца таблицы истинности будут заполнены различными сочетаниями значений аргументов. Далее будут располагаться результаты промежуточных вычислений и конечный результат.
А |
В |
С |
|
А + |
(А + )С |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
Домашнее задание
А+В;
(А+В)С.
(А + В)С.
(А+В) В;
А+АВ+СВ;
(А+В)(А + В)С.