![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №29 Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение)
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
Теорема 1. Если
Доказательство. Будем исходить из следующей оценки:
Итак,
Зафиксируем
функция
равномерно
непрерывна на [a,
b]
равномерно непрерывна на [a, b].
Доказано.
Теорема 1.
Если
непрерывна,
функциональный ряд
сходится
к
то
Доказательство.
Если
частичные
суммы, то
также
непрерывна и равномерно сходится к
Утверждение теоремы 1 вытекает из теоремы 1.
Доказано.
Теорема 2. Если
Доказательство. Будем пользоваться следующим критерием интегрируемости функции по Риману (критерий Римана):
Пустьпроизвольное
разбиение, тогда:
Итак,
Опять
а
из
Это и означает справедливость второй части теоремы 2.
Доказано.
Теорема 2.
Если
,
и функциональный ряд
сходится
к
то
Доказательство.
Если
По теореме 2
(по
теореме 2) =
Доказано.
Теорема 3. Если
то
также
равномерно сходится к
.
Доказательство. Будем пользоваться следующими критерием:
произвольное,
а
Далее
пользуясь критерием Коши, покажем
равномерную сходимость последовательности
равномерно по
Далее:
Доказано.
Пример 1. Исследовать
сходимость функционального ряда
Пример 2. Исследовать
сходимость функционального ряда
Пример 3. Исследовать
сходимость функционального ряда
Теорема 3. Если
Доказательство.
Если
то
Доказано.
Лекция №15 Пространства и сходимость в них
Случай
.
В этом случае
-
линейное пространство бесконечной
размерности, в котором можно ввести
норму
для
которой выполнены свойства:
Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.
Норма позволяет определить сходимость [a, b]:
Последовательность
функции называется фундаментальной,
если
Нормированное
пространство, в котором всякая
фундаментальная последовательность
является сходящейся, называетсяполным,
или банаховым
пространством (по имени С. Банаха).
Отметим, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, т.е. в полном пространстве сходимость эквивалентна фундаментальности, или в полном пространстве выполнен критерий Коши.
Покажем, что
нормированное пространство
является
полным. Для этого рассмотрим сходимость
в нём:
Итак, сходимость
по норме пространства
эквивалентна
равномерной сходимости.
Известно, что для
равномерной сходимости выполнен критерий
Коши. Это и означает, что пространство
-
полное.
Пример. В пространстве
введём
норму
.
Полученное пространство будет
нормированным, но не полным, например,
в нём будет фундаментальная следующая
система функций.
Можно указать
фундаментальную последовательность
,
но не сходящуюся к непрерывной функции.
Это нормированное пространство можно
пополнить, и элементами этого пополнения
будут функции, интегрируемые на [0, 1] по
Лебегу.
Пространство
Это линейное
пространство, в котором можно ввести
норму
Охарактеризуем сходимость в этом пространстве:
т.е. сходимость по
норме пространства
эквивалентна
равномерной сходимости самой
последовательности и последовательности
её производных порядкаk
включительно.
Отметим, что
пространство
также
является полным.
Пространство
с
нормой
не
будет полным и его пополнение – это так
называемоепространство
Соболева
.