![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №29 Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение)
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Разложение в ряд Тейлора-Маклорена некоторых элементарных функций
Бесконечные произведения
Определение бесконечного произведения
Пусть
положительная
последовательность, т.е.
.
Формальная запись
(1)
называетсябесконечным
произведением.
Будем говорить,
что бесконечное произведение (1) –
сходится, если
где
последовательность
частичных произведений. В противном
случае произведение (1) – расходится.
Основная теорема.
Бесконечное
произведение (1) – сходится
сходится
(2).
Доказательство.
(1) – сходится
(2)
– сходится.
Доказано.
Пример. Исследовать
сходимость ряда
Получаем
сходится
условно.
Исходный ряд сходится условно.
Бесконечное
произведение (1) назовём абсолютно
сходящимся, если сходится ряд
.
В противном случае (1) сходится условно.
В предыдущем примере представлено
условно сходящееся бесконечное
произведение.
Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
Для дальнейшего
удобно обозначить
и рассматривать
(3),
(4),
(5).
Теорема.
Произведение
(3) – сходится абсолютно
(4) сходится абсолютно.
Доказательство.
(3) сходится
абсолютно
сходится
и в частности
.
Сравним ряды
и
при условии
:
для
.
Из этих неравенств вытекает, что эти
ряды сходятся абсолютно.
Доказано.
Следствие: если в произведении (3) все bn, начиная с некоторого номера, имеют один и тот же знак, то сходимость произведения (3) эквивалентна сходимости ряда (4).
Пример.
расходится.
Анализ этой теоремы
показывает, что удобно использовать
разложение
.
Задача. Обозначим: «+» - сходится, «-» - расходится, и заполним следующую таблицу:
|
(4) |
(5) |
(3) |
1. |
+ |
+ |
+ |
2. |
+ |
- |
- |
3. |
- |
+ |
- |
4. |
- |
- |
? |
Доказательство
1.
,
- сходятся
.
Доказано.
Пример.
сходится,
т.к.
сходится,
но
расходится.
Доказательство
2. Опять
и из признака сравнения ряд
расходится.
Общий член есть сумма двух последовательностей
– сходящейся и расходящейся, значит,
ряд
расходится,
иначе ряд
был
бы сходящимся как разность двух сходящихся
рядов. Доказано.
Доказательство
3. Опять
И
как в предыдущем случае ряд
сходится.
Доказано.
Доказательство 4. Два примера:
“-”, “-” “-”
;
“-”, “-” “+”.
Ряд
Частичная
сумма порядка совпадает с частичной
суммой гармонического ряда, т.е. ряд
расходится.
расходится.
Оба ряда расходятся.
Вычислим частичное
произведение
т.к.
произведение
расходится
по следствию:
обобщённый
гармонический ряд с показателемp
=
- сходится.
сходится
к тому же числу, а значит и всё произведение
сходится.
Доказано.
Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
Многие элементарные
функции раскладываются в бесконечные
произведения, например,
.
С помощью бесконечного произведения
можно определять и новые функции,
называемыеспиральными,
например
- функция (гамма-функция):
константа
Эйлера,
.
Проверим, что для всех указанныхS
бесконечное
произведение действительно сходится
и определяет некоторую функцию. Проверим
сходимость следующего ряда:
.
сходится
.
Свойства - функции.
Формула Эйлера:
.
Основное функциональное тождество для - функции:
В частности,
.
Рассмотрим поведение n! для больших n:
формула
Стирлинга
Доказательство 1.
Сравнивая (*) и (**), получим формулу Эйлера.
Доказано.
Доказательство
2. Рассмотрим
отношение
.
По формуле Эйлера получаем:
Доказано.