Лекции по математическому анализу III

III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды

1. Понятие сходимости числового ряда

Пусть последовательность действительных чисел,

- числовой ряд (1).

Составим последовательность частичных сумм:

последовательность частичных сумм

Если для ряда (1) существует предел последовательность частичных сумм при , равный числу, то ряд называетсясходящимся, а число S – его сумма. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.

Пример. Исследовать сходимость и найти сумму ряда

Составляем последовательность частичных сумм:

2. Свойства сходящихся рядов

остаток сходящегося ряда, последовательность остатка.

1. Необходимое условие сходимости: частичные суммы сходящегося ряда – ограничены: (это вытекает из того, что сходящаяся последовательность ограничена).

Приведём пример ряда, у которого частичные суммы ограничены, а сам ряд будет расходиться:

2. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда предел общего члена равен нулю

Доказательство. Доказано.

Рассмотрим пример расходящегося ряда, для которого

неограниченная, наименьшее слагаемое .

Пример. расходится, т.к.

Предположим, что

противоречие.

3. Необходимое условие сходимости: у сходящегося ряда

Доказательство. Доказано.

4. Сходимость ряда не нарушится, если добавить или отбросить конечное число слагаемых.

5. Множество сходящихся радов образуют линейное пространство:

если

6. Критерий Коши: ряд (1) сходится фундаментальная, т.е.

Пример. гармонический ряд (расходящийся).

т.е. не выполнен критерий Коши, ряд расходится.

-функция Римана

Задача. Исследовать сходимость ряда сумма бесконечной геометрической прогрессии. Доказать, что приряд сходится,

Решение.

Лекция №2 Сходимость положительных рядов

1. Критерий сходимости положительного ряда

положительный ряд (1)

Теорема. Ряд (1) – сходится тогда и только тогда, когда последовательность ограниченная.

Доказательство. Необходимость.

Известно как необходимое условие сходимости.

Достаточность.

ограниченная т.е.сходится (по теореме Коши о пределе монотонной последовательности). Доказано.

Замечание. У положительного ряда достаточно проверять ограниченность только некоторой подпоследовательности частичных сумм.

2. Признак сравнения

Теорема. Если даны два ряда то:

1. если -сходится, то - сходится;

2. если - расходится, то -расходится.

Доказательство.

1) подпоследовательность частичных сумм ряда, подпоследовательность частичных сумм рядаограниченная сверху (по необходимому условию сходимости), ограниченная сверхусходится.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказано.

Замечание. В признаке сравнения выполнение неравенства достаточно требовать для

При использовании признака сравнения можно использовать сравнение последовательностей:

1. если и рядсходится;

2. если то сходимостии эквиваленты;

3. то сходимостии эквивалентны.

Пример. Исследовать на сходимость

расходится, а значит и данный ряд расходится.

3. Признак сравнения в предельной форме

Если даны то

1. если ряд сходится, то ряд-сходится;

2. если ряд расходится, то ряд-расходится.

4. Обобщённый признак сравнения

Если даны то

1. если -сходится, то - сходится;

2. если - расходится, то -расходится.

Доказательство.

1) Имеем илиилиили

-сходится.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Доказано.

Замечание. В обобщённом признаке сравнения выполнение неравенств достаточно требовать для

5. Признак Даламбера

Если для ряда то

Доказательство. Пусть тогда рядсходится,расходится, но

Пусть тогдаи длясходится и по обобщённому признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пусть

Значит, ряд расходится.

Доказано.