МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Санкт-Петербургский университет аэрокосмического приборостроения

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА - 2

Методические указания по алгоритмизации

задач теории графов

Санкт-Петербург

1998

Составитель: Л.А. Прокушев

Рецензент: кандидат технических наук, доцент В.П. Попов

Приводятся методические указания и рекомендации к выполнению индивидуальных заданий по решению некоторых типовых задач теории графов путем претворения математических моделей и методов решения в машинно-ориентированные алгоритмы и программы на языке высокого уровня с целью реализации их на ЭВМ.

Задания предназначены для студентов специальности "Системы автоматизированного проектирования", а также для студентов других специальностей, использующих теорию графов для решения задач.

Подготовлены к публикации кафедрой "Компьютерные системы автоматизации" по рекомендации методической комиссии факультета № 1.

© Санкт-Петербургский университет

аэрокосмического приборостроения, 1998

Лицензия ЛР №02341 от 07.05.97 г.

Подписано к печати Формат 60х84 1/16. Бумага тип. №3.

Печать офсетная. Усл. печ. л. Уч.-изд. л.

Тираж экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел

Отдел оперативной полиграфии

СПбГУАП

190000, Санкт-Петербург, б.Морская, 67

-1 -

Задание №1. ВИДЫ И ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРАФОВ

Цель работы: а) освоение основных понятий теории графов; б) ознакомление с различными видами и формами представления графов.

Содержание работы: в соответствии с абстрактным представлением графа в индивидуальном задании необходимо построить геометрические графы (неориентированный и ориентированный) и их матрицы сложности.

Методические указания к выполнению задания

Теория графов, являясь разделом дискретной математики, используется для описания и изучения отношений между дискретными объектами. При этом объекты геометрически можно представить в виде множества точек, называемых вершинами графа, V={v_i}, а отношения между ними представляются самонепересекающимися линиями, связывающими вершины. Если линии не ориентированы, то их называют ребрами ( ), а сам граф – неориентированным, а если линии ориентированы, то их называют дугами ( u ), а граф – ориентированным, или орграфом. Если множество вершин и ребер (или дуг) конечно, то граф называется конечным.

Геометрическое представление графов, являясь наглядным, трудно поддается математической обработке, поэтому описание графа формализуют и представляют в более общем виде:

G=(V, ) (или G=(V,U)), где V – непустое множество вершин графа v_i  V; – множество ребер для не- ориентированного графа; U – множество дуг орграфа.

В неориентированном графе ребром, соединяющим две вершины v_i и v_j , называется неупорядоченная пара [v_i , v_j ] или [v_j ,v_i ], при этом ребро обозначается =[v_i , v_j]. Множество ребер является конечным подмножеством (возможно пустым) неупорядоченного произведения V&V (т.е.  V&V ) с элементами вида [v, w], где v, w  V и допустимо совпадение элементов пары v=w.

В орграфе дуга представляется направленной линией (стрелкой), соединяющей вершины v_i и v_j , и ее обозначают парой (v_i , v_j) , где v_i – начало , а v_{j –} конец дуги. Для удобства дуги обозначают также одной буквой u_ij=(v_i , v_j), u_n=(v_i , v_j) или u=(v_i , v_j). Множество дуг графа U является конечным подмножеством упорядоченного, или декартова, произведения U  VV.

Структурное различие между неориентированным графом и орграфом состоит в том, что в первом случае граничные точки ребра образуют неупорядоченную, а во втором – упорядоченную пару вершин. На рис. 1.1 показано, что ребро эквивалентно противоположно направленным дугам.

-2 -

а) v______________w б) v ---------- w

Рис. 1.1. Линии графа: а) ребро графа; б) дуги графа

Любой граф в абстрактном смысле эквивалентен (по отношению к свойствам, изучаемым в теории графов) некоторому геометрическому графу. При некоторой идеализации многие известные структуры можно рассматривать как геометрические графы и изучать с помощью методов теории графов. Например, в виде графа можно представить систему дорог или сеть улиц в городе, если пренебречь шириной последних, а пересечения считать точками.

Для удобства обработки графов с использованием ЭВМ лучше всего подходит матричная форма представления структурных свойств графа. Матрица смежности вершин графа – это квадратная матрица || S || размера nn (n – количество вершин), где строки и столбцы соответствуют вершинам графа, а элемент s_ij для неориентированного графа равен числу ребер, соединяющих одновременно вершины i и j, а для орграфа s_ij равен количеству дуг (v_i , v_j).

Матрица смежности неориентированного графа без петель (ребер, замкнутых на одну вершину) симметрична относительно главной диагонали, поскольку пара вершин v_i и v_j соединяются одинаковыми ребрами [v_i , v_j ]= [v_j , v_i ], т.е. достаточно рассматривать только половину матрицы выше главной диагонали. Очевидно, что матрица смежности графа без петель и кратных ребер является булевой матрицей, состоящей из нулей и единиц.

Пример.

Пусть граф G=(V,U) задан множеством вершин V={v₁, v ₂, v₃, v₄} и множеством U={u₁=(v₁, v₂), u₂=(v₁, v₂), u₃=(v₁, v₄), u₄=(v₃, v₂), u₅=(v₂, v₄), u₆=(v₃, v₃)}, где пары вершин представляют ребра для неориентированного графа и дуги

|| S || :

	1	2	3	4
1	0	2	0	1
2	2	0	1	1
3	0	1	1	0
4	1	1	0	0

а)

v ₁   v₂

₂

_{3 5 4}

v ₄ _{. 6}  v₃

- 3 -

|| S || :

	1	2	3	4
1	0	2	0	1
2	0	0	0	1
3	0	1	1	0
4	0	0	0	0

б) ₁

v ₁   v₂

₂

_{3 5 4}

v ₄ _{. 6}  v₃

Рис. 1.2. Графы и матрицы смежности:

а) неориентированный граф; б) орграф

для орграфа. Изобразить для графа G его геометрическое представление и матрицу смежности для неориентированного графа и орграфа (рис. 1.2):

Задание № 2. ОБРАБОТКА НЕОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА

Цель работы: а) освоение основных понятий, характеризующих неориентированный граф; б) овладение методами и приемами выделения частей графа с заданными свойствами.

Содержание работы: для исходного неориентированного графа из задания № 1 выделить его составные части в соответствии с индивидуальным заданием и представить их в отчете.

Методические указания к выполнению задания

Для описания различных структурных графов вводится ряд понятий, которые особенно наглядно иллюстрируются на примере геометрических графов. При этом некоторые понятия являются общими, а другие учитывают специфику неориентированных графов и орграфов.

Локальные свойства графов

Если есть ребро =[v, w] (или дуга u=(v, w) ), то v и w называются граничными (концевыми) точками (или u ) независимо от того, является граф геометрическим или нет. Например, на рис. 1.2 для ребра (дуги u₁ ) его концевыми точками являются вершины v₁ и v₂.

Говорят, что ребро (дуга) и его граничные точки инцидентны друг другу, иначе говоря, вершины, инцидентные ребру (дуге), являются его концевыми точками. Например, на рис. 1.2 ребру (дуге u₁) инцидентны вершины v₁ и v₂.

- 4 -

Петлей =[v, v] (u=(v, v) ) называется ребро ( дуга u ), с единственной граничной точкой, например, петля ₆ ( u₆ ) на рис. 1.2.

Вершины, связанные ребром или дугой, называются смежными, например, на рис. 1.2 смежными являются вершины v₂ и v₄, связанные ребром ₅ (дугой u₅).

Если смежные вершины связаны более чем одним ребром или дугой, то такие ребра (дуги) называются кратными, а сам граф называется мультиграфом, т.е. графы на рис. 1.2 являются мультиграфами с кратными ребрами ₁ и ₂ (дугами u₁ и u₂ ).

Одна вершина может иметь несколько смежных вершин, если в ней сходятся несколько ребер (дуг), например, на рис. 1.2 для вершины v₁ смежными являются вершины v₁ и v₄. В частности, вершина v смежна сама с собой, если существует петля, инцидентная v, например, на рис. 1.2 вершина v₃ смежна сама с собой.

Смежными ребрами (дугами) называются такие, которые имеют, по край- ней мере, одну общую граничную точку, например, на рис. 1.2 смежными являются ребра ₁ , ₂ , ₃ (дуги u₁ , u₂ , u₃ ) c общей вершиной v₁. Смежными можно считать также кратные ребра и петли.

Замечание. Смежность является отношением между двумя подобными элементами (вершинами или ребрами), тогда как инцидентность есть отношение между разнородными элементами (вершинами и ребрами).