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Краткое справочное пособие по школьному курсу математики

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smc 221 }I 72 M 79

YJlK 372.851(075.3)

AoTOp: A. r. MOP.llKOBH'I,.llOKT. nen. nayx, nporp.

M 79

MOP.llKOBH'IA.r.

 

 

 

 

 

 

Kparxoe cnpaso-nroe rrocooae lIO lllKOJIbHOMY xypcy MaTeMaTHI<H: Orrpezte-

 

 

 

JIeHIDl; Teopexsr; CBOHCTBa; cI>0PMYJIbl; AnroPHTMbI. -

M.: HOBaH urxona, 1994.

:~

 

 

f~

-

48 C.-- ISBN 5-7301-0056-6

 

 

 

 

 

3a.ll)'MbiBaJI3TOcnpasosuoe noc06He, aBTOp CTaBHlI nepea co6oH clIenylOlUHe 3a,lla'lH:

 

 

 

 

 

 

 

 

1. B lIaKOHH'IHOA4'opMe,!laTh '!maTeJJlOBee OCHOBHble onpezteaenaa, reopexse, «f!OPMYlIbI,

 

 

 

npaauna, CBoliCTBa MaTeMaTH'IecKHx06"eKToB, xoropsre acrpesascrca B llIKOllbHOM Kypce

 

 

 

MaTeMaTHKH.

 

 

 

 

 

 

 

2. PaCnOllOlK!ITb MaTepHall TaK,

'IT06h\ nOHCK HylKHOli

'1HTaTeJJlO HH<fIoPMaJ.(HH 6b1J1

 

 

 

nOCTaTO'lHOnpocr.

 

 

 

 

 

 

 

HacKollbKO y,!laJlOCb peunrrs 3TH 3a,lla'lH,cY.lUfTb BaM, '!maTeJIlIM.Mbi aaaeexca, 'ITO3Ta

 

 

 

He60Jlblllall KHHlKHUa craaer Ba1lIHM Ha,nelKHblM nOMOI1lHHKOM: B nepaozt 06Y'leHHlIB uncone H

 

 

 

noziroroaxn K BcrynmeJJbHbIM 3K3aMeHaM B By3,

npa "OBTOpeHHH llIKOllbHOro xypca xareaa-

 

 

 

THKH, a TaKlKe BO MHOruX ztpyrax CJJY'IalIX.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IiIiK 221 JI 72

 

 

 

 

AJIeKCaHAP Iparopsesax MOPAKOBH1J

 

 

 

 

 

Kparxoe cnpaaoxnoe nocoriae lIO llIKOJIbHOMYKypcy MaTeMaTHKH: Onpeaeneaas;

 

 

 

Teopexsr: CBOHCTBa; cI>opMyJIbl; AnrOPHTMhI

 

 

 

 

 

XYllOX<HHK 06JIO:>KKH B.A: Bopxonor

 

 

 

 

 

 

Penaxrop E.E.EJlHHKHHa

 

 

 

 

 

 

 

KOMllbIOTepHaH BepCTKa C.B.CyxapeB

 

 

 

 

 

 

Koppexrop A. E. YIBaHoBa

 

 

 

 

 

 

 

JIHl{eH3Hl1 JIP lW061967 OT 28.12.92

 

 

 

 

 

 

C,naHO B Ha60p 5.05.94. Iloan. K nenara 27.05.94

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<I>0PMaT 60x90 1/16 oyMara raseraas. Ileears 04JceTHalI.

 

 

 

 

 

Fapmrrypa ..Ilerepeypr. YClI. nes. JI. 3

 

 

 

 

 

 

THpaJK 50000 3K3. 3aKa3 NO 356.

Ilena noroaopaas.

 

 

f

 

Hanarenscrso "HOBalI uncoaa". 107258, MOCKBa,

 

 

 

Kpacaooorarsipcxaa, 75, xopn.z

 

 

 

..~

 

 

 

 

 

,'1]

 

MOCKOBCKU mnOrp8lPHSI NO 6 KOMHTeT8 p~ no neq8TH,

 

 

 

 

I:

 

 

109088, MOCKB8, JK-88, IOlICHonopToB8S1 yn., 24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ISBN 5-7301-0056-6

 

 

 

 

 

 

 

 

©

MopnKOBWI, 1994

)~-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,-i

OrJIaBJIeHHe

AJIfEBPA

.

6

1. TO:>KneCTBeHHble npe06pa30BaHlHI . . . . .

6

 

1.1. <DopM}'JIbI pa3JIO:>KeHH.lI na MHO:>KHTeJlH

6

 

1.2. MOnYJIb 'IHCJla

.

6

 

1.3. Kopens n-o CTeneHH .

. • . . . . .

7

 

1.4. Creneas C paUHOHaJlbHbIM noaaaarenesr

7

 

1.5. JIorapHlpMbI. . . .

 

8

2. <DyHKUHH . . . . . . . . . . . .

9

 

2.1. JIHHeuHa.lI epyHKUH.lI . . . . .

9

 

2.2. 06paTHa.lI lIponOpUHOHaJIbHOCTb

9

 

2.3.

Kaanparaaaaa epyHKUH.lI

 

10

 

2.4. <DyHKUH.lI Y = "-.IX . . . . . .

10

 

2.5. Crenennaa epyHKUH.lI y =x r . .

10

 

2.6. Iloxaaarensnaa H norapadisoorecsaa epyHKUHH

12

 

2.7. CBOOCTBa epyHKUHH

.

12

 

2.8. IIoCTpoeHHe rpadmxos epyHKUHit C lIOMOlI.{bIO

 

 

 

npeoopaaosaaajt H3BeCTHblX rparpaxoa.

13

3.

YpaBHeHH.lI . . . . . . . . . . . . . . . .

14

 

3.1. Kaaaparuste ypaBHeHH.lI

. '.. . . . . . .

14

 

3.2 AJlroPHTM peurenas ypamreuas 3-0 crenenn

15

 

3.3

I1ppaUHOHaJIbHble ypamrenas

15

 

3.4. Iloxasarem.nue ypasnenaa

15

 

3.5. Jloraparpxasecxae ypasuenas

15

4.

HepaBeHCTBa • ........

16

 

4.1.

CBOOCTBa 'lHCJIOBbIX HepaBeHCTB

16

 

4.2

HepaBeHCTBa C MOnYJI.llMH

16

 

4.3. I1ppaUHOHaJIbHble HepaBeHCTBa

16

 

4.4. Iloxaaarensnue HepaBeHCTBa

17

 

4.5. JIorapHepMH'IecKHeHepaBeHCTBa

17

5.

Ilporpeccaa . . . . . . . . . .

17

 

5.1. Aparpsreravecxaa nporpeccas

17

 

5.2. Feosrerpa-recxaa nporpeccas .

18

TPl1fOHOMETPI151 . . . . . .

19

1. TpHroHOMeTpH'leCKHeepyHKUHH. .

19

 

1.1. lJHCJIOBa.lI OKpy:>KHOCTb . . .

19

 

1.2. TpHroHOMeTpH'leCKHeepyHKUHH

20

 

1.3. Oriparnsre TpHrOHOMeTpH'leCKHeepyHKUHH

21

 

1.4.

fpaepHKH TpHrOHOMeTpH'leCKHXepyHKUHO

23

 

1.5. fpaepHKH 06paTHbIX TpHroHoMeTpH'leCKHXepyHKUHO

24

 

 

 

 

3

2.

<1>OpMyJIbI TpnrOHOMeTpHH . . . . . . .

 

25

 

2.1. <1>opMYJIbI, CBR3bIBaIOIUHe epYHKIJ;HH

 

 

 

oznroro H roro )Ke apryxeirra

 

25

 

2.2. <1>OPMYJIbI, CBR3bIBaIOIUHe epYHKIJ;HH apryxeirron,

 

 

H3 KOTOPblX OllHH BllBoe 60JIblIIe llPyroro . . .

25

 

2.3. <1>OPMYJIbI CJIO)KeHHR apryxenroe

.

25

 

2.4. <1>OPMYJIbI npeoopaaosanaa CYMM B npoaasezienaa

26

 

2.5. <1>OPMYJIbI npe06pa30BaHH.sI nponaseztenaa B CYMMbI

26

 

2.6. <1>OPMYJIbI npHBelleHHR . . . . . .

. . . . • . .

26

 

2.7. II pocreaurae TpHroHOMeTpH'IeCKHeypasuenaa . . .

27

3JIEMEHTbi )l11<1><1>EPEHUI1AJIbHOfO I1Cl.J:I1CJIEHI151

28

1.

II POH3BOllHa.sI . . . . . . . . . .

 

28

 

1.1. Onpenenenae rrpoaaeozmof . .

 

28

 

1.2. <1>OPMYJIbI llHepepepeHIJ;HpOBaHH.sI

 

28

 

1.3. Ilpasana llHepepepeHIJ;HpOBaHH.sI

 

29

 

1.4. Feoxerpa-recaaa CMblCJI IiPOH3BOllHOii

 

29

 

1.5. YpaBHeHHe xacarensnoa ... . .

 

29

2.

I1cCJIellOBaHHe epyHKIJ;HIt C nOMOIUbIO rrpouasozmof

30

 

2.1. I1cCJIellOBaHHe Ha MOHOTOHHOCTb . . . . . .

30

 

2.2. I1cCJIellOBaHHe Ha 3KcTpeMyM . . . . . . .

30

 

2.3. Orucxanae naaoom.urero H naaxensnrero 3Ha'leHHH

 

 

uenpepsrsnoa epYHKIJ;HH Ha npOMe)KyTKe. . . .

31

3JIEMEHTbll1HTEfPAJIbHOfO I1Cl.J:I1CJIEHI151

32

1. Ilepnooopasnas

 

.

32

 

1.1. Onpeaenenae nepaooopasnoa . . . . . . .

32

 

1.2. Ilpaaana BbI'IHCJIeHH.sIrrepnooopasnoa

 

32

 

1.3. <1>OPMYJIbI BbI'IHCJIeHH.sInepaooopasnoa F (x)

 

 

llJIR epYHKIJ;HH f (x)

 

.

32

2. Heonpenenennstf HHTerpaJI . . . . . .

• . .

33

 

2.1. Orrpenenenae neonpenenennoro anrerpana

33

 

2.2. Ilpasana HHTerpHpOBaHH.sI .

 

33

 

2.3. <1>OpMyJIbI HHTerpHpOBaHHR .

 

33

3. Orrpeztenennua HHTerpaJI

. . • .

 

34

 

3.1. <1>opMYJIa HbIOToHa-JIeH6HHIJ;a

 

34

 

3.2. CBoii:CTBa onpenenennoro mrrerpana

 

34

 

3.3. BbI'IHCJIeHHenJIOIUaneIt nJIOCKHX epHryp

 

 

C nOMoIUbIO anrerpana

 

35

llJIAHI1METPI151 .

 

 

36

1. TpeyrOJIbHHKH . . . .

• .

 

36

 

1.1. 0603Ha'leHH.sI . . . .

 

36

 

1.2. Paanocroponnaa rpeyronsnax

 

36

 

1.3. llP.sIMOyrOJIbHbIii: TpeyrOJIbHHK (C = 90")

36

 

1.4. llPOH3BOJIbHbIii: TpeyroJIbHHK . . . . .

37

4

it,

III

:11

2.l.J:eTblpexyrOJIbHHKH . . . . . . .

2.1.BbmYKJIblii '1eTblpexyrOJIbHHK

2.2.llapaJIJIeJIOrpaMM

2.3.Tpanenaa . . . . . . . .

3. OKPY)KHOCTb H Kpyr . . . . .

3.1.)lBa CBOUCTBa KaCaTeJIbHbIX

3.2.113MepeHHe yrJIOB, CB.sI3aHHblX C oKpy)KHOCTbIO

3.3.MeTpH'IeCKHeCOOTHOllIeHH.sI B oKpy)KHOCTH

3.4.)lJIHHa oKpy)KHOCTH, nJIOIUanb xpyra

3.5.)lJIHHa llyrH, nnontans cexropa

CTEPEOMETPI151 . . . . . • . . . . .

1.OCHoBHbIe TeopeMbl, HCnOJIb3yeMbie llJI.sI 06ocHOBaHH.sI '1epTe)Ka

2.Ilapaxana . . . . . . . . . . . . .

2.1.OCHoBHbIe KOMnOHeHTbl nHpaMHllbl . . . . . . . . . .

2.2.

l.J:eTbIpe CJIY'la.sIBbICOTbI nHpaMHllbI . . . . . . . . . .

2.3.

Bbl'lHCJIeHHe06'beMaH nJIOIUallH rroaepxaocra napaxansr

3. Ilpaaxa

.

3.1. OnpelleJIeHH.sI

. • . . . . . . . . . . . .

3.2.BbI'IHCJIeHHe06'beMaH nJIOIUallH nosepxnocra np.sIMoii: npH3MbI

4.Kpyrnsre TeJIa

4.1.UHJIHHllP . . .

4.2.KOHyC ....

4.3.Y ce'leHHbliiKOHyC

4.4. lllap

.

5.Onacannsre urapu

5.1.Illap H napaxaaa

5.2.lllap H npaaxa

5.3.lllap H IJ;HJIHHllP .

5.4.lllap H KOHyC . .

5.5.lllap H yce'leHHblii:KOHyC

6. Bnacannue llIapbI . . . .

6.1.Illap H napaxana

6.2.lllap a npnxax npaaxa

6.3.lllap H IJ;HJIHHllP . . .

6.4.lllap H KOHyC . . . .

6.5.lllap H yce'leHHblHKOHyC

38

38

39

39

39

39

40

40

40

41

41

41

42

42

42

42

43

43

43

44

44

44

45

45

46

46

46

46

47

47

47

47

47

48

48

48

5

AJIfEBPA

1.Toseztecmeaesre npeotipaaonanaa

1.1.C1l0PMyJlhl p33JlOXCeHHJI aa MHOXCHTeJIH

a2 - b2 =(a - b) (a + b).

 

 

 

a3 - b3 =(a - b) (a2 + ab + b2).

 

 

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2).

 

 

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2.

 

 

 

a3 + 3~b + 3ab2 + b3 = (a + b)3.

 

 

a3 -

3a2b + 3ab2 - b3 = (a _ b)3.

 

 

ax' + bx + C =a (x - Xt) (x - x 2 ) ,

 

 

r lie X t '

X 2 -

KOpHH xsaztparnoro TpeXtIJIeHa a~ + bx + c.

p(x) = (x -

Xt) q(x), rzte X t

--- xopens MHOrOtIJIeHa p(x).

 

 

 

1.2. MOA)'Jlb'lHcJla

 

 

 

1.2.1.

Onpeoenenue

 

I a I={

a, eCJUI a ~ 0;

 

 

 

 

 

- a, eCJIH a < O.

 

 

 

 

 

 

1.2.2. Ceoiicmea

 

Ia I~ O.

 

 

2n

=a

2n

 

 

Ia 1

, n EN.

Iab 19 a I. I b I.

Ia + b Is Ia I+ I b I.

a I

Ia I

 

 

 

 

Ii

=m'

 

 

 

 

6

']

1

',;:1

i

1.3.Kopeas n-it crenena

1.3.1.Onpedenenus

ECJIH a ~ 0, TO KopHeM n-u cmenenu (n = 2,3,4 ... ) U3 "IUCJUl a

Ha3bIBaeTCH raxoe neorpauarensnoe qHCJIO b, llJI5l xoroporo BbIllOJIH5leTCH paBeHCTBO b" = a:

n--Ja = b, a ~ 0 <=> b" = a, b ~ O.

ECJIH a < 0, a n ~. 3 -- nesernoe tIHCJIO, TO KopHeM n-u cmeneuu

U3 "IUCAa a nassmaercs raxoe OTpHuaTeJIbHOe tIHCJIO b, llJI5l xoroporo

BbIllOJIH5leTC5l paBeHCTBO bn = a.

n..J(i == b, rzre n -- HetIeTHOe tIHCJIO, a < 0 <=> bn = a, b < O.

1.3.2. Ilea OCHoeHblX moocoecmea

n-{dl = Ia I, eCJIH n

---- -rernoe tIHCJIO;

 

n-{dl =a, eCJIH n ----

HetIeTHOe tIHCJIO.

 

 

1.3.3.

Ceoiicmea (aM a > 0, b > 0)

n--Ja n-{b = nWifi.

n"kWi

= nkWi.

nWi

= ~

n- rz:

= nk: ,..-,;jk

n..fb

'J b.

»a:

»a: .

t--Ja) k = W.

1.4.Creneas c pal.lHOHaJlbHblM noxasareaex

1.4.1.Onpeoenenus

at = a.

ECJIH n EN, n -:t 1, TO an = aa ". a (n COMHO)f(HTeJleH).

ECJIH a -:t 0, TO aD = 1.

ECJIH a ~ 0, TO ap1q =q-{;;P.

ECJIH a -:t 0

H

n E N,

TO a- n =~an.

.

 

t)

1

ECJIH a > 0

H

r = L..,

TO a- T =-.

 

 

q

aT

7

1.4.2. Ceoiicmea

a'la'2 =a'l + '2.

a'b' =(ab)'.

a'2

 

_,

.

:: =(~J

a'l

 

 

 

-=U1

2

 

 

(a'l)'2

=a'l'2.

1.5. JIorapu<l>MIII

 

 

 

 

1.5.1. Onpedenenue

AozapufjJMoM nOJIO:>KHTeJIbHoro qHCJIa b no nOJIO:>KHTeJIbHOMY OCHOBaHHIO a :t 1 Ha3bIBaeTC~ nOKa3aTeJIb CTeneHH, B KOTOpyIO HY:>KHO B03BecTH a, qT06bI nOJIyqHTb b:

logab = C, b » 0, a > 0, a :t- 1 <;=> aC = b, a > 0, a :t- 1.

1.5.2. Ilea OCHoeHblX moscoecmea

a

logab

b:

logaa'= r.

 

- ,

 

 

1.5.3. Ceoiicmea (l(TI~ b > 0, C > 0)

logabc =logab + logac,

logcb

logab = -1- .

 

 

 

ogca

 

b

=lo&b - logac.

logab = log,{b'(r -:t; 0).

loga~

 

c

 

 

logab'= rlo&b.

 

 

1.5.4. Ceoiicmea (,llJI~

rrpOH3BOJIbHbIX b, c ozmoro 3HaKa)

logabc =logal b I+ logal c I.

 

b

= logal b I- logal C I.

log,-c

10gab2n = 2n logal b I (n EN).

1.5.5. j(eCRmUItHbIU AozapurjJM

10gtOb = 19 b (06IUerrpHH~TM sanacs).

1.5.6. Hamypansnuii AozapurPM

logeb = In b (06IUerrpHH~TM sanncs).

e = 2,7182818284590 ... ; 06blqHO CqHTaIOT, qTO e "" 2,7.

8

]

l

,)

?r

,t'~

 

 

2 ° <1lyHKU,UU

 

 

 

 

2.1. JIuHdlHaJi <l>YHKlJ,Ha

 

 

 

fpaq.HIKOM JIHHeHHOH

<PYHKl{HH

Y = kx + b

51BJI5IeTGI

npastaa.

k = tga. ---- yrJIOBOH K03<P<PHUHeHT.

 

 

 

 

Yf

 

 

y'

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=kx+-b

 

I

 

 

 

 

 

. /

~

 

y::.b b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(;;-;;0)

 

 

 

x

 

 

......... x

-

 

x

 

 

UI

01

2.2. Otiparnas nponopnaoaansnocrs

k

fpa<pHKoM <pyHKUHH y =- S1BJISleTCSI ranepoona C aCHMIlTOTaMH x

x =0, y =0.

y

 

 

 

!J

 

 

~'>OJ

~.

O'0r- x

 

 

 

 

 

\10

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

( y=f (k<O)

 

 

 

 

 

 

s.A. MOPAKOBWI

9

 

2.3. KB3,lJ,pamlJHaB <!»YHKIlHH

rpa<pHKoM KBall.paTHqHOH

<pyHKUHH

y = aXL + bx + C }lBJUlerOI

napario.na

C BeTB}lMH, HanpaBJIeHHbIMH snepx,

eCJIH a> 0, H

BHH3,

 

 

.

 

 

 

 

 

 

b

eCJIH a < 0; OCbIO CHMMeTpH~1 napaoonsr CJIy)f(HT npaxas x =-

-2.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

a

 

 

II

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. <1>YHKIlIIH Y ="..jX

 

 

 

 

n - qeTHOe qHCJIO.

 

n -

HeqeTHOe qHCJIO.

 

9

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2.5. CTeneHHaH <!»YHKllHH Y = xT

 

y = x T ;

r = 2n, n E

N.

y = x T ;

r = 2n + 1, n E

N.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

0,

x

 

 

 

 

 

 

10

~Il.·'.·

,I

 

y = x';

r = O.

 

 

 

 

 

y =x';

r =- 2n, n E N.

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

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o

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =x';

r =E. > 1.

y =x';

r =- (2n - 1), n E N.

 

 

 

 

 

 

..

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

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y =x';

r =2

0<E.<1.

,

r =-

E.

E. > O.

 

 

 

 

q'

q

y =x"

q'

q

 

!J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

)(

o

x

2:

11

 

2.6. TIoKa3areJIbHaJI H JIOrapH~"IH'IeCKaJl <l>yHKIJ,HH

x

y = if, 0 < a < 1.

y=a,a>1.

!J

a

LJ

x

a

x

y = logax, a > 1.

"I = Iogax, 0 < a < 1.

v

y

o

a x

2.7. Caoncrsa <l>yHKIJ,Hit

2.7.1. Hemnocms

ePyHKUlUl y = (x) Ha3blBaCTC>I wemnou, CCJIli (-x) = (x) .llJI>I

.morioro x H3 06nacTH orrpeaenenns epyuKUHlI. Tparpax '1CTHOH<pyHKUHH CHMMCTpWICU OTHOCHTCJIbHO ocn u.

2.7.2. Hesemnocms

ePyIIKUH>I y = (x) Ha:JbIBaCTC>I He'temHou, eC1IH {(- .r) = - (x) .lln>l

JIIOUOrO x H3 orinacru onpC.llCJICHH>I q>YHKLlHH. rpaclnlK HC'fCTHOH epyuKUHH CHMMCTpH'fCnOTHOCHTcnbHO na {lana KOOPIlH nar.

12

2.7.3. IIepuoiJulfHocmb

ePyHKUU>I y =(x) Ha3bIBaeTC>I nepuoiJulfecICou, eCJIU cyuiecrsyer 'lUCJIOT :I: 0 raxoe, 'lTOpasencrno (x) =(x + n =(x - n BbInOJInaercs .llJI>I JII060ro x U3 06JIaCTU onpezrenenaa epyHKUuu; T -- nepuoo rPYHIC14UU.

2.7.4. Monomounocms

ePyHKUU>I y =(x) Ha3bIBaerC>I 803pacmtJrotqeu (y6tH8arotqeu) na

nponexcyrxe X, eCJIU .llJI>I JII06bIX Xl' x 2 U3 X TaKUX, 'lTOXl < x2 '

BbInOJIH>leTC>I aepaseacrno (Xt ) < (x 2) «((Xl) > (x2».

2.7. S. Oepanuxeunocms

ePyHKUU>I y = (x) Ha3bIBaerC>I ozpaHu'teHHou c8epxy na npoxe- »cyrxe X, eCJIU cymecrsyer raxoe 'lUCJIOM, 'lTO(x) $ M .llJI>I JII060ro x U3 X. Iparpa« TaKoH epyHKUuu pacnOJIO)KeH HH)Ke np>lMOH y = M. ePyHKUU>I Y = (x) Ha3bIBaeTC>I ozpaHu'teHHou CHU3Y na npoxe- )KyTKe X, eCJIU cymecrsyer raxoe 'lUCJIOm, 'lTO(x) ~ m .llJI>I JII060ro x U3 X. I'parpa«TaKoH epyHKUuu pacnOJIO)KeH ssnne np>lMOH y = m. ePyHKUU>I y =(x) Ha3bIBaeTC>I ozpaHu'teHHou na npovescyrxe X,

eCJIU OHa na 3TOM npoxeacyrxe orpanaseaa U csepxy U CHH3Y.

ECJIU epyHKUU>I Y = (x) nenpepsisna na orpeaxe [a,b], TO OHa na 3TOM OTpe3Ke orpanaxena.

2.8. Ilocrpoenae rpadnncoa <l>yHKIJ,HIi

c nossomsso npeo6pa30BaHHII naaecrasrx rpa<l>HKoB

nYCTb rpaepuK epyHKUHH y = (x) nocrpoea.

lITo6bI nOCTpOUTb rparpa« epyHKUuu y = (x + a) + b, Hy)KIW:

ocyurecrnars napaJIJIeJIbHbIH nepeaoc rparpaxa y = (x) na sexrop (- a,' b).

lIr06bI nOCTpOUTb rpadnnc epyHKUuu y = I(x) I, Hy)KHO:

 

OCTaBUTb 6e3 U3MeHeHH>I BeTBU

rparpaxa y = (x),

xoropsre

JIe)KaT nsrure ocu x;

 

 

3aMeHUTb BeTBU rpadnrxa y = (x),

xoropsre JIe)KaT HU)Ke OCH x,

CUMMeTpU'lHbIMHUM OTHOCHTeJIbHO oca x.

 

lITo6bI nOCTpOUTb rpadnnc epyHKUHU y = ( Ix I), Hy)KHO:

OCTaBUTb 6e3 U3MeHeHU>I BeTBU

rparpaxa y = {(x),

xoropsre

JIe)KaT npasee OCH y;

 

 

 

 

13

C OCbIO

OT6poCHfb BerBH rparpaxa Y =f(x),

xoropsre JI~aT nesee OCH Y;

.ll06aBHTb K OCTaBIIIHMOI BeTB}lM CHMMeTpH'IHbleHM OTHOCHTeJIb-

HO OCH y.

 

4T06bI nOCTpOHTb rparpax ¢>yHKUHH y= kf(x), Hy)l(HO:

ocyutecrmrn, paCT}I)I(eHHe rpadnnca y = f(x) OT OCH x no BepTH-

KaJIH B I k I paa (eCJIH Ik I< 1,

TO ¢>aKTH'IeCKH nOJIY'IHTC}I

C)I(aTHe?; ecJIH npa 3TOM k < 0, TO paCnlHYTbIH rpadmx Hy)l(HO 3aMeHHTb CHMMerpH'IHbIMesry OTHOCHTeJIbHO OCH x.

TI pH 3TOM npe06pa30BaHHH OCTaIOTC}I HenO.llBH)I(HbIMH TO'lKH nepecevenas rparpaxa y = f(x) C OCbIO X.

4T06bI nOCTpOHTb rpa¢>HK ¢>yHKUHH y = f(mx), Hy)l(HO: ocyutecrmrn- C)I(aTHe rpadnnca y = f(x) KOCH Y no ropH30HTaJIH

B I m I

pa3, (eCJIH I m I<, 1,

TO

nOJIy'lHTC}I paCT}I)I(eHHe C

K03¢>¢>HI.(HeHTOM

I ~ I); eCJIH

npH

3TOM m < 0, . TO C)I(aTbIH

rparpnx

Hy)l(HO

3aMeHHTb CHMMeTpH'lHbIM esry OTHOCHTeJIbHO

OCH y.

 

 

 

 

TIPH 3TOM npe06pa30BaHHH OCTaeTOI HenO.llBH)I(HOH TO'lKanepece-

'leHH}Irparpaxa y = f(x) y.

3. YpaBHeHuB

3.1. Kaaaparasre ypaaaenaa

 

3.1.1. (/JoPMYAbl xopneii xeaopamnoeo ypaenenun

 

 

ax2 + bx + e =

°(a *" 0)

 

 

x t .2 =

-b ± ...J b2 - 4ac

HJIH x t .2 =

-k ± {k1 - ac

, eCJIH b = 2k.

 

2a

 

a

 

4HCJIO b2 -

4ae ---- .llHCKpHMHHaHT KBatlpaTHOro ypasneaaa (0603-

Ha'laeTC516yKBOH D).

 

 

 

 

 

 

 

3.1.2. Teopeua Buema u ee cneocmeus

ECJIH xl'x 2

--- KOpHH xaazrparaoro ypaBHeHH51 x 2 + px + q = 0, TO:

x t + X2 =- p,

x~ + ~ =- P (p2 - 3q),

Xt x 2 = q,

 

 

4

4

22222

 

Xt

+ x 2 = (p - q) - q.

x~ + ~ = p2 - 2q,

14

3.2 AUOpHTM pemeuns ypasaeaaa 3-A crenena

ax3 + bx? + ex + d = 0, rzte a, b, c, d -- nensre 'lHCJIa;a ~ 0.

1. BbInHIIIHTe see .lleJIHI.eJIH cB060.llHOrO xneira d.

2. BbI6epHTe cpena 3THX .lleJIHTeJIeH TO 'lHCJIOxt 'xoropoe 5lBJI51erC51 xopnex ypaBHeHH51 (ecJIH raxoro 'lHCJIaHer, TO aJIrOpHTM nenproreHHM).

3. Pa3.lleJIHTe ax3 + bx 2 + ex + d na (x - xt ) , nOJIyqHTe B 'laCTHOM

u

2

+

b

tX + Ct·

 

xaazrparnsta TpeX'lJIeHax

 

 

 

4. Haiiztare KOpHH x 2'

x 3 ypaBHeHH51 ax2 + btx + c t

= 0.

5. 3anHIlIHTe OTBer: xl'X 2'

x3 --- KOpHH ypaBHeHH51.

3.3 Hppauaoaaxsasre ypaaneaaa

 

ECJIH n --- nesernoe 'lHCJIO, TO ypasuenae n...jf(x)

= q(x) pasno-

CHJIbHO ypaBHeHHIO f(x) = (q(x))n.

 

ECJIH n --- sernoe 'lHCJIO,TO ypasneaae n...jf(x) = q(X) paBHOCHJIbHO CMeIlIaHHOH CHCTeMe:

f (X) ~ 0,'

q(X) ~ 0,

{f(x) = (q (x) )n.

3.4.TIoKa33reJlbHble ypaBHeHHSI

ECJIH a > 0, a*"1, TO ypasneaae c!(X) =aq(x) paBHOCHJIbHO ypaB-

HeHHIO f(x) = q(x).

3.5. JIorapH¢>MH'IeCKHeypaaaenaa

ECJIH a > 0, a*"1, TO ypasnenae logaf(x) = lo&q(x) paBHOCHJIbHO

CMeIlIaHHOH CHCTeMe:

f (X) > 0, q(x) > 0,

{ f(x) = q(x).

15

 

 

 

4. Hepaaeacrna

 

 

4.4. IIOIC3aaTeJlbHble aepaaeacraa

4.1. CBoAcTBa 'IIICJlOBbIXuepaseacra

 

 

ECJIH a > 1, TO HepaBeHCTBO d(X) > aq(x) paaHOCHJJbHO nepaseacrny

 

 

roro xce CMbICJIa f(x) > q(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ECJIH a> b, b » c, TO a> c.

 

 

 

ECJIH 0 < a < 1, TO HepaaeHCTBO

a!(X) > aq(x) paaHOCHJIbHO nepa-

ECJIH a > b, TO a + c > b + c.

 

 

 

BeHcTBy rrpOTHBOrrOJIO)KHOrO CMbICJIa f(x) < q(x).

ECJIH a> b, c> d, TO a + c > b + d.

 

 

4.5. Jlorapu<!mUlJeCKUe HepaBeHCTBa

ECJIH a> b, c

< d, TO a - c > b -

d.

I~.

 

 

ECJIH a > b, m >

0,

TO am > bm.

 

ECJIH a > 1, TO HepaBeHCTBO logaf(x) > 10&zq(x) paBHOCHJIbHO CHC-

ECJIH a > b, m < 0,

TO am < bm.

 

rexe HepaBeHCTB:

 

ECJIH a > b >

0,

c >

d >

0, TO ac > bd.

 

 

f (X) > 0,

 

 

q(x) > 0,

 

 

 

1

1

 

 

 

ECJIH a > b >

 

 

 

 

 

\ f(x) > q(x).

0,

TO a< b'

 

 

 

ECJIH a > b ~ 0, TO an > b"

 

 

 

ECJIH 0 < a < 1, TO HepaBeHCTBO 10&z f(x) > log, q(x) paaHOCHJIb-

 

 

 

HO CHCTeMe nepaaencrs:

 

ECJIH a :> b ~ 0, TO n...Ja

~ n...fb.

 

 

 

 

 

 

 

f (X) > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2 Hepaaencraa C MO.nYJlJlMH

 

 

q(x) > 0,

 

 

 

\ f(x) < q(x).

HepaaeHCTBO BHJla If(x) I> q(x) paaHOCHJIbHO cosoxynnocra JlBYX

 

 

Hepaaeucrso BHJla 10&z(x/(x) > loga(x)q(x) paaHOCHJIbHO cosoxyn-

CHCTeM HepaBeHCTB:

 

 

 

 

 

 

HOCTH CHCTeM HepaBeHCTB:

 

 

f (X) ~ 0,

 

f (X) S; 0,

 

 

a(x ) > 1,

0 <a(x) < 1,

 

{ f(x) > q(x) ;

{ - f(x) > q(x) .

 

 

q(x) > 0,

f<x) > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

\ f(x) > q(x);

\((x) < q(x).

4.3. Hppanaoaansnsre uepaseacraa

 

 

 

 

Hepaseacrso BHJla ...Jf(x)

< q(x) paaHOCHJIbHO CHCTeMe nepaaencrs:

 

 

5. Ilporpeccaa

 

 

 

 

f (X) ~ 0,

 

 

 

 

 

q(x) > 0,

{ f(x) ~ ( q(x) )2.

HepaaeHCTBO BHJla ...Jf(x) > q(x) paaHOCHJIbHO coaoxynaocra CHC-

TeM nepaaencrs:

f (X) ~ 0,

f (X) ~ 0,

q(x) ~ 0,

{ q(x) < O.

{ f(x) > ( q(x) )2;

 

5.1. Apu<!memlJeCKaH nporpeccas

5.1.1. Onpeoenenue

ApurjJMemUileCKOil npoepeccueii Ha3bIBaeTC~ rrOCJJeJlOBaTeJJbHOCTb a1,

a2 , ... , an' ... , Ka)KJlbIH 'IJIeHKOTOpOH, KpOMe nepsoro, OTJIH'IaerC5I OT npezrsmyurero na OJlHO H TO )Ke 'IHCJIOd:

an + 1 =an + d; d -- pa3HOCTb nporpeccna.

16

y. A. MOPI'lKOBH'1

17