Замечание: раскрашивание «элементов» уравнения должно усилить восприятие образа «разделения переменных»: элементы одной переменной имеют один цвет, а второй – заметно отличающийся!

1). Учитывая «Решение–В», отметим, что из исходной записи уравнения ни одного решения не следует.

2). Интегрируем уравнение: = или = x– +C, лучше: y³=3x–x³+C – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: y³=3x–x³+C – общее решение ДУ.

Пример 9–25: Решить дифференциальное уравнение: xy′ =2y.

Решение:

0). Запишем уравнение в виде: xdy = 2ydx – уравнение с разделяющимися переменными.

1). Учитывая «Решение–В», запишем решения, которые следуют из исходной записи уравнения: x=0 и y=0.

2). Учитывая, что теперь x≠0 и y≠0, запишем уравнение в виде: =2 ; «видим!»: переменные разделились и можно приступить к интегрированию ДУ!

3). Интегрируем: =2 или ln|y|=2ln|x|+lnC, лучше: y=Cx² – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: y = Cx² – общее решение ДУ, также x=0 (из общего решения не получается ни при каком значении С) и y=0 (входит в общее решение при С=0).

Пример 10–26: Решить дифференциальное уравнение: (x+1)y′+xy =0.

Решение:

0). Запишем уравнение в виде: (x+1)dy + xydx =0 – уравнение с разделяющимися переменными.

1). Учитывая «Решение–В», запишем решения, которые следуют из исходной записи уравнения: x+1=0 и y=0.

2). Учитывая, что теперь x+1≠0 и y≠0, запишем уравнение в виде: + =0; «видим!»: переменные разделились → можно приступить к интегрированию ДУ!

3). Интегрируем: + =C или ln|y| + x – ln|x+1| = C, лучше: = e^C–x=Ce^–x – общее решение дифференциального уравнения; еще лучше: y=C(x+1)e^–x.

Замечание: постоянная С «берет на себя» заботу о согласовании знаков величин, если будет необходимо учесть начальные условия!

3). Из общего решения ДУ при С=0 следует: решение y = 0, но ни при каком значении С не следует: x+1=0.

Ответ: y = С(x+1)e^–x – общее решение ДУ; также x+1=0 (из общего решения не получается ни при каком значении С) и y=0 (входит в общее решение при С=0).

Пример 11–30: Решить дифференциальное уравнение: (1+y²)xdx +(1+x²)dy =0.

Решение:

0). «Раскрасим» заданное уравнение: (1+y²)xdx +(1+x²)dy =0 – уравнение с разделяющимися переменными.

1). Учитывая «Решение–В», отметим, что из исходной записи уравнения ни одного решения не следует.

2). Запишем уравнение в виде: 2 +2 =0 (умножение на число 2 удобно!); «видим!»: переменные разделились → можно приступить к интегрированию ДУ!

2). Интегрируем: ln(1+ x²)+2arctgy =C – общее решение ДУ.

Ответ: ln(1+ x²)+arctgy =C – общее решение ДУ.

Пример 12–31: Решить дифференциальное уравнение: xydx + dy =0.

Решение:

1). Учитывая «Решение–В», запишем решения, которые следуют из исходной записи уравнения: x²–1=0, то есть х= ±1, и y=0.

2). Учитывая, что теперь x²–1≠0 и y≠0, запишем уравнение в виде: + =0; «видим!»: переменные разделились → можно приступить к интегрированию ДУ!

3). Интегрируем: ln|y| = –lnC – общее решение ДУ; лучше: Сy= или y=С .

4). Видим, что решение y = 0 можно получить из общего при С=0. Решение x= ±1 из общего решения не получается ни при каком значении С!

Ответ: y = С – общее решение ДУ; также решение: y = 0 (выделяется из общего при С=0) и x= ±1.

Пример 13–38: Решить дифференциальное уравнение: y′= .

Решение:

0). Будем считать, что x=x(y). Перепишем заданное уравнение в виде: x′=y+2x или в общем виде: x′=f(ay+bx+c). Полученное уравнение имеет «Решение–С».

1). Запишем уравнение в виде: 2x′=2(y+2x)=2f(ay+bx+c).

2). Примем u=y+2x и запишем уравнение: u′=bf(u)+a=2u+1, или du=(2u+1)dy, что является уравнением с разделяющимися переменными.

3). Далее применяем «Решение–В»: получаем решение 2u+1=0, или 2y+4x+1=0.

4). Учитывая, что теперь 2u+1≠0, запишем уравнение в виде: = dy, или =2dy.

5). Интегрируем уравнение по последней записи: ln|2u+1|=2y+C – общее решение ДУ; лучше: 2u+1= или 2u+1=С .

6). Учитывая: u=y+2x, получим окончательно: 4x+2y+1= С .

Ответ: 4x+2y+1= С – общее решение ДУ; решение 2y+4x+1=0 выделяется из общего при значении С=0.

Пример 14–41: Решить дифференциальное уравнение: y′+2y =3x+5.

Решение:

0). Преобразуем заданное уравнение: y′=3x–2y+5=f(ax+by+c). Полученное уравнение имеет «Решение–С».

1). Запишем уравнение в виде: –2y′=–2(3x–2y+5), из общего: by′ =bf(ax+by+c).

2). Примем u=3x–2y+5 и запишем уравнение: u′=bf(u)+a=–2u+3, или du=(–2u+3)dх, что является уравнением с разделяющимися переменными.

3). Далее применяем «Решение–В»: получаем решение –2u+3=0, или 2u–3=0, или через исходные переменные: 6x–4y+7=0.

4). Учитывая, что теперь –2u+3≠0, запишем уравнение в виде: =–dх, или (лучше!) =–2dх.

5). Интегрируем уравнение по последней записи: ln|2u–3|=–2х+C – общее решение ДУ; лучше: 2u–3= или 2u–3=С .

6). Учитывая: u=3x–2y+5, получим окончательно: 6x–4y+7= С .

Ответ: 6x–4y+7= С – общее решение ДУ; решение 6x–4y+7=0 выделяется из общего при значении С=0.

Пример 15–43: Решить дифференциальное уравнение: (1+y²)dx –xydy =0, y(1)=0.

Решение:

0). «Раскрасим» заданное уравнение: (1+y²) dx – xydy =0 – уравнение с разделяющимися переменными.

1). Далее применяем «Решение–В»: получаем решение x=0.

2). Учитывая, что теперь x≠0, запишем уравнение в виде: 2 –2 =0 (умножение на число 2 удобно!); переменные разделились → можно приступить к интегрированию ДУ!

3). Интегрируем: lnx²–ln(y²+1)=C, лучше: y²+1=Cx² – общее решение ДУ.

4). Используя начальные условия, вычисляем: С=1 → частное решение: x²–y² =1– гипербола. График полученного уравнения имеет две ветви. Начальные условия выделяют правую ветвь гиперболы!

Ответ: x²–y² =1 – частное решение ДУ: правая ветвь гиперболы.

Пример 16–167: Найти уравнение кривой, проходящей через точке , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

Решение:

В Примере 1–18 получены выражения: Т=OТ= ; – отсекаемого касательной на оси ординат, D=OD=(x,0) – ординаты.

Замечание: Условие задачи предполагает равенство величин: |OТ| = x²

Для лучшего восприятия задачи воспользуемся рисунком: отрезки ОА и МD выделены красным цветом. Через некоторую точку М(x,y) плоскости OXY проходит кривая y=(y) со свойством:

▪ Случай-1: [отрезок OТ]= x²; (1)

▪ Случай-2: [отрезок OТ]= – x². (2)

Случай-1.

0). Из условия запишем: х– =x² – дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!

1). Запишем уравнение в виде: (x–x²)dy–ydx=0 – уравнение с разделяющимися переменными.

2). Учитывая «Решение–В», запишем решения, которые следуют из исходной записи уравнения: x=0 – ось ОY; x=1 – прямая, параллельная оси ОY; y=0 – ось ОХ. Эти решения не отражают существа поставленной «геометрической задачи».

3). Учитывая, что теперь x≠0,1 и y≠0, запишем уравнение в виде: = ; «видим!»: переменные разделились → можно приступить к интегрированию ДУ!

4 ). Интегрируем: +C= или lnCy=ln , лучше: y=C =С – общее решение дифференциального уравнения: семейство гипербол.

Замечание: Если на плоскости XOY изобразить простейшую гиперболу y= , то гиперболу y= получают смещением оси OY на 1 влево. Если гиперболу y= принять за «базовую», то семейство кривых y=С получают применением преобразований:

а) для С>0 : ▪ поднять «базовую» кривую на С единиц; ▪ деформировать (сжать-растянуть) «базовую» кривую в С раз;

б) для С<0 : ▪ зеркально отобразить «базовую» относительно оси ОХ; ▪ опустить «базовую» кривую на |С| единиц; ▪ деформировать (сжать-растянуть) «базовую» кривую в |С| раз;

5). Интегральная кривая, проходящая через точку А= : y=1+ – частное решение дифференциального уравнения при С=1 (см. рисунок).

Случай-2.

0 ). Из условия запишем: х– =–x² – дифференциальное уравнение для нахождения кривой с заданными свойствами. Остается решить это уравнение!

1). Запишем уравнение в виде: (x+x²)dy–ydx=0 – уравнение с разделяющимися переменными.

2). Учитывая «Решение–В», запишем решения, которые следуют из исходной записи уравнения: x=0 – ось ОY; x=–1 – прямая, параллельная оси ОY; y=0 – ось ОХ. Эти решения не отражают существа поставленной «геометрической задачи».

3). Учитывая, что теперь x≠0,–1 и y≠0, запишем уравнение в виде: = ; «видим!»: переменные разделились → можно приступить к интегрированию ДУ!

4). Интегрируем: +C= или lnCy=ln , лучше: y=C =C – общее решение дифференциального уравнения: семейство гипербол.

Замечание: Если на плоскости XOY изобразить простейшую гиперболу y= , то гиперболу y= получают смещением оси OY на 1 вправо. Если гиперболу y= принять за «базовую», то семейство кривых y=С получают применением преобразований:

а) для С>0 : ▪ поднять «базовую» кривую на С единиц; ▪ деформировать (сжать-растянуть) «базовую» кривую в С раз;

б) для С<0 : ▪ зеркально отобразить «базовую» относительно оси ОХ; ▪ опустить «базовую» кривую на |С| единиц; ▪ деформировать (сжать-растянуть) «базовую» кривую в |С| раз;

5). Интегральная кривая, проходящая через точку А= : y= –3 = –3+ – частное решение дифференциального уравнения при С=–3 (см. рисунок).

Ответ: Случай-1: y=С – общее решение ДУ. Случай-2: y=С – общее решение ДУ. Решения ДУ: x=0 и y=0 теряют привычный геометрический смысл, и мы их в этой задаче не выделяем!

* * * * * * * * * *

Домашнее задание

Дома

Л-3

гл.10: № 2, 5, 12, 18, 22, 24, 27, 28, 29, 32, 45, 166.

12

Пример 1–2: Показать, что при любом действительном значении параметра С заданная функция y=x является решением ДУ: xy′–y =xe^x.

Решение:

1). Учтем, что производная функции равна: e^x. Тогда производная заданной функции равна: y′= +x e^x.= + e^x

2). Подставим заданную функцию y и ее производную y′ в заданное ДУ:

x + xe^x – x = xe^x → тождество.